Volver

El Laboratorio Virtual de Triángulos con Cabri es una revista on-line de matemáticas dedicada a la resolución de problemas sobre triángulos.

Está dirigida por mi amigo Ricardo Barroso Campos, profesor de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla.

Esta relación de amistad y el gran acierto de su trabajo hace que sea un placer para mí, en la medida de mis posibilidades, colaborar en la revista.

Para acceder a la revista pulsa sobre la imagen de la izquierda o aquí.

A continuación, problemas planteados en la revista que he resuelto.

272. Una línea recta que pasa por el incentro de un triángulo ABC corta a los lados AB y AC en los puntos D y E respectivamente. Sea P el punto de intersección de BE y CD. Si X, Y y Z son los respectivos pies de las perpendiculares desde P a BC, CA y AB, demuestre que: 1/PX = 1/PY + 1/PZ.

271. Dibuje un triángulo equilátero de 10 cm de lado y señale cinco puntos en su interior. ¿Sabría razonar que en cualquier caso habrá siempre dos puntos que están com máximo a 5 cm de distancia?

270. Un triángulo ABC, verifica entre uno de sus lados, a, la mediana correspondiente a ese lado m_a, y el radio del círculo
circunscrito R, la relación a² = 4 R m_a.

Probar si es cierto o no que aparte de los triángulos rectángulos en A, hay, al menos otro.

269. Ejemplos de problemas que plantean tareas ricas: ¿Podrías construir un triángulo con sus dos bisectrices perpendiculares?

Construimos los siguientes puntos definidos por las intersecciones de los pares de rectas que se indican: X(A) = B'C''' Ç B''C'; Y(A) = A'' C''' Ç A'''B'' ; X(B) = A'' C''' Ç C'A'''; Y(B) = A'' B' Ç B'' C'; X(C) = B'' A''' Ç A'' B', Y(C) = B'C''' Ç C'A'''.

Probar que :

a) Las rectas X(A)Y(A) ; X(B)Y(B) ; X(C)Y(C) son concurrentes.

A partir de ahora se considera que los triángulos T(A), T(B) y T(C) tienen la misma razón de semajanza respecto a ABC.

b) Las rectas X(A)Y(A) ; X(B)Y(B) ; X(C)Y(C) son concurrentes en el baricentro de ABC.
c) Probar que los triángulos X(A)X(B)X(C), Y(A)Y(B)Y(C) y ABC son semejantes, y encontrar su centro y razón de homotecia.
d) Calcular la razón de las áreas de los hexágonos (o exágonos) A''A'''C'''C'B'B''A'' y X(A)Y(B)X(C)Y(A)X(B)Y(C).

1. AX, BY, CZ son concurrentes en P.
2. La perspectriz de los triángulos ABC y XYZ es la recta de Monge de los tres excírculos.
3. P es colineal con (N) y el incentro (I). Además se cumple: IP : PN = r : r.
4. XE ·YK ·ZM = XD ·YJ ·ZL

 

A) Probar que AA₂, BB₂, CC₂ son concurrentes.
B) Si P es el punto de Gergonne, A₁A₂, B₁B₂ y C₁C₂ son concurrentes

242. Sean ABC un triángulo, y AA', BB' y CC' tres cevianas arbitrarias que concurren en el punto interior del triángulo P', distinto del centro de gravedad.
Sean los puntos A", B" y C" sobre los lados BC, AC y AB, respectivamente, tales que: CA'=A"B, AB'= B"C y AC'= C"B. Probar que :
a) Las cevianas AA", BB" y CC" concurren en un punto P".
b) Si definimos los puntos A* como intersección de las rectas C´B" y C"B´, B* como intersección de las rectas A'C" y A"C' y, C* como la intersección de las rectas B'A" y B"A', probar que los puntos A*, B* y C* están alineados y que la recta A*B*C* pasa por los puntos P' y P".
c) Calculad el cociente de las razones dobles de los cuatro pares de puntos siguientes: (A*, B*, C* ,P'):(A*,B*, C*, P").
d) ¿Qué sucede si P' = G, centro de gravedad del triángulo?
Bonus:
e) ¿En qué casos alguno de los puntos A*, B*, C* es un punto del infinito, por ser paralelas las rectas que lo definen?
f) ¿Qué punto P' de partida debemos tomar si queremos que el baricentro G pertenezca a la recta A*B*C*?

Un círculo tangente externamente opuesto al vertice A, es tangente al circuncirculo y AB, AC en A₁, D, E. De manera similar para el vértice B tenemos puntos de tangencia B₁, F, G con el circuncírculo y AB, BC, y para el vértice C tenemos puntos de tangencia C₁, M, N con el circuncirculo y AC, BC. Además las rectas DE, FG, MN conforman el triángulo XYZ. Probar que:

1. I es el circuncentro de XYZ.
2. [XYZ]/[ABC]=8R/r (donde [XYZ]=area de XYZ)

234. Demostrar que si las longitudes de los lados de un triángulo forman una progresión aritmética, el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo y el baricentro de éste están situados en una recta paralela al lado de la longitud intermedia.

232. Sea ABC un triángulo isósceles siendo AB=AC. Hallar x real tal que si tomamos a+x, b+x, c+x, prolongando una longitud x a a desde B, y obteniendo C' , prolongando una longitud x a b desde C y obteniendo A', y prolongando una longitud x a c desde A y obteniendo B', el triángulo A'B'C' sea isósceles, siendo B'C' = B'A'.

231. Construir un triángulo conociendo los pies de las tres alturas.

230. Calcular la hipotenusa y cateto de un triángulo rectángulo de perímetro 60 cms y tal que la altura del ángulo recto mide 12 cms.

229. Se tiene un triángulo ABC y se sabe que BC = m, la bisectriz BD = n, DA= m + n, ÐABD = ÐDBC = 40º. Calcular ÐBAC.

228. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Sea a > b ³ c. Hallar x real tal que si tomamos a+x, b+x, c+x, prolongando una longitud x a a desde B, y obteniendo C' , prolongando una longitud x a b desde C y obteniendo A', y prolongando una longitud x a c desde A y obteniendo B', el triángulo A'B'C' es rectángulo en B'.

227.Construir un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa y la bisectriz del ángulo recto.

1. El área de los cuadriláteros DEFG, FGHI, y HIDE es igual a q veces el área de ABC.
2. Las áreas de los triángulos GHK, IDL y EFM  son iguales a k -se hallará- veces el área de ABC.
   
3. Las áreas de los triángulos DEK, FGL y HIM son iguales a h -se hallará- veces el área de ABC.
   
4. El área del triángulo KLM es igial a l -se hallará-, veces al área de ABC.

220. Una recta d corta los lados AB, BC, CA de un triángulo ABC en C', A', B' respectivamente. Sean L la intersección de AA' con BB', M la intersección de BB' con CC' y N la intersección de CC' con AA'. Demostrar que las rectas AM, BN y CL son concurrentes.

219. En un triángulo ABC se verifica que sen(A-B)=½ y cos(A+B)=½ y se sabe que ABC es equivalente a otro triángulo MNP tal que p=87cm, n=72cm, M=35º18'46''. Calcula el lado c del triángulo ABC.

218. Sea ABC un triángulo. Por el pie A' de la altura por A, se trazan las perpendiculares a los lados AB y CA que cortan a las perpendiculares a BC desde B y C en P y Q. Demostrar que los puntos P y Q están alineados con el ortocentro H del triángulo ABC.

217. Si ABC es rectángulo y G es su baricentro calcular la relación PG:GQ.

.

213. Construir un triángulo rectángulo conocidos un cateto y la diferencia de la hipotenusa con el otro cateto.

211. Hallar el lado de un triángulo equilátero conociendo su área.

202. Sea el triángulo ABC, cuyos excírculos (Ib),(Ic) tienen como puntos de tangencia a (D,E) y (F,G) con (AC, BC) y (AB,BC) respectivamente. Demostrar que FG y DE se cortan en la altura ha del triángulo ABC.

200c. La elipse de los baricentros, trabajo realizado para conmemorar el problema 200 de trianguloscabri.

199. Cierta persona se enteró de que en el lugar donde hay enterrado un tesoro crecen solamente tres árboles: un roble, un pino y un abedul. Para encontrar el tesoro hay que situarse debajo del abedul, (A), volviéndose de cara a la línea recta que pasa a través del roble y el pino (R y P). En este caso el roble ha de estar a la derecha y el pino a la izquierda. Luego es necesario dirigirse al roble contando los pasos. Al llegar al roble se vira en ángulo recto hacia la derecha y se da la misma cantidad de pasos que se dio entre el abedul y el roble. En este punto es necesario detenerse y clavar un jalón (J1).
Después hay que regresar al abedul y dirigirse desde este hacia el pino, contando los pasos. Al llegar al pino se vira en ángulo recto hacia la izquierda y se da la misma cantidad de pasos que se dio entre el abedul y el pino. En este punto es preciso detenerse y calvar otro jalón (J2). El tesoro está enterrado precisamente en el centro entre los jalones (en la figura, T). En presencia de una instrucción tan detallada, las búsquedas no pudieron provocar dificultades. Sin embargo, éstas a pesar de todo surgieron. Resultó que cuando el buscador del tesoro llegó al terreno indicado sólo encontró el roble y el pino. No había ni señal del abedul. Pero con todo, encontró el tesoro. Surge la pregunta, ¿cómo logró hacerlo?

198. Construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 12 cm , sabiendo que dos de sus medianas son perpendiculares.

197. En un triángulo rectángulo la diferencia de dos ángulos agudos es igual al ángulo comprendido entre la altura y la mediana relativa a la hipoenusa.

196. En el triángulo rectángulo ABC, recto en C sea CD una altura. Los círculos de centros P y Q están inscritos en los triángulos ACD y BCD respectivamente. Si AC =15 y BC =20 determine la medida de PQ.

195. La figura que se adjunta está formada por dos triángulos isósceles, con al ángulo en A de 20º y el de D de 100º. Demostrar que AB = BC+CD.

192. Supongamos que el punto P se encuentra sobre la circunferencia K descrita alrededor del triángulo ABC y que P1 P2 y P3 son los puntos simétricos con el punto P respecto a los lados del triángulo ABC. Demostrar que los puntos P1 P2 y P3 están sobre una recta que pasa por el punto de intersección de las alturas del triángulo ABC.