¿Qué relación hay entre los radios de los cuatro círculos grandes y el de los dos círculos pequeños?

Solución del problema

Sean R y r los radios mayor y menor. Según la figura tenemos:

BC^2 = BD^2 - CD^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2 = 4 R r

AB^2 = AC^2 + BC^2 = (3R-r)^2 + 4Rr= 9R^2 + r^2 - 2Rr

Por ser ÐCAB = 30º, AB = 2 BC y AB^2 = 4 BC^2. Entonces,

r^2 - 2Rr + 9R^2 = 16 Rr

r^2 -18 Rr + 9R^2 = 0

Construcción con regla y compás usando el problema de Apolonio (por Mariano Nieto Viejobueno)

Reducimos el problema a uno de los casos del problema de Apolonio:

El centro B del círculo tangente a las circunferencias (D) y (E) y a la recta base coincide con el del círculo auxiliar que pase por (E) y por (D) siendo tangente a una paralela a la recta base trazada a una distancia igual al radio R. Para hallar el centro de esta circunferencia,

Trazamos la paralela a la recta base por D', siendo DP = PD' = R.

Trazamos la circunferencia de diámetro DE y hallamos la intersección M de DE y la paralela.

Trazamos la circunferencia cuyo diámetro une M y el punto medio de DE. Esta circunferencia cortará a la circunferencia de diámetro DE en los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas desde M.

Con centro M y radio MT trazamos una circunferencia que corta en N a la paralela. Este N será un punto de tangencia con la circunferencia auxiliar.

La perpendicular por N a la recta base cortará a la mediatriz de DE en el centro B buscado.

 

Construcción con regla y compás usando el álgebra

Es fácil construir los cuatro círculos grandes sobre un punto cualquiera P de la recta. El centro B de una de los círculos pequeños estará en la mediatriz de DE, que pasa por A, y también estará en una paralela a recta dada por un punto C tal que CP = r.

Para encontrar el punto C tenemos en cuenta quey que el número es solución de la ecuación

Entonces, considerando a P como origen, trazamos una circunferencia de diámetro 6R, con centro A y trazamos una paralela FG a AP por el punto F (ya que DF = R = 1·R). La paralela y la circunferencia se cortarán en el punto X tal que . A partir de aquí construimos el punto Y sobre FG tal que GY = 3 GX que estará en la paralela BC a la recta dada.

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