Como se ve en la figura de la derecha, en un cuadrado de lado a hay una circunferencia de radio r₁, dos circunferencias de radio r₂, y tres circunferencias de radio r₃. Todas las circunferencias son tangentes a las líneas o a otra circunferencia según se indica, y la circunferencia pequeña pasa por el vértice del triángulo, como también se indica. Hallar r₁, r₂ y r₃.

International Mathematical Talent Search – Round 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solución del problema

Es evidente que r₂=a/4. Para hallar r₃ usamos la figura de la derecha, que es autoexplicativa: A y B son los centros de las circunferencias, U y V son los puntos de tangencia de la tangente común interior a dichas circunferencias, BN es la paralela a UV por B, AM y BM son paralelas por A y B a los lados del cuadrado, etc.

Como AB es la hipotenusa de los triángulos rectángulos BNA y BMA,

Calculando,

También,Entonces,

que nos da

Ahora vamos a calcular la altura MC del triángulo ABC. Para ello, llamamos x=OC, y=NC (ON es perpendicular a AC). Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ONC y teniendo en cuenta que este triángulo es semejante al triángulo AMC, podemos plantear

Entonces,

Para terminar, hallaremos r₁ usando el teorema de Pitágoras con el triángulo rectángulo TDZ en el que TD=a/4, TZ=9a/24 - a/4 + r₁ = a/8 + r₁ y DZ=a/2+r_{1 Entonces,}

_.

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