Un triángulo se divide en partes trazando líneas desde un vértice de manera que los círculos inscritos en los triángulos resultantes son todos iguales. Entonces, si h es la altura del triángulo respecto a ese vértice y d es el diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo inicial, el diámetro x de los n círculos iguales satisface la fórmula

Sakabe Kohan (1759-1824), matemático japonés. "There is a triangle which is divided into smaller triangles by a oblique lines so drawn from the vertex that the small inscribed circles as shown in the figure are all equal. Given the altitude h of the triangle and the diameter d of the circle inscribed in the triangle, required to find of the diameter of one of the n equal circles". (A history of Japanese Mathematics, by David Eugene Smith and Yoshio Mikami, p. 210)

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Un teorema sobre incírculos,
con demostraciones de John F. Rigby.

Lema. Sea ABC un triángulo con inradio r, y sea Z un punto sobre la prolongación de BC. Sea h la longitud de la altura desde A a BC y representemos los ángulos ÐZBA, ÐZCA por 2b, 2g, siendo 0 < b < g < p/2. Entonces

Demostración. Representemos los lados de ABC por a=BC, b=CA, c=AB, su área por D, y su semiperímetro por s=½(a+b+c). Entonces r = D/s = ha/2s, de manera que

(1)

Escribamos tan b = t, tan g = u. Entonces, b = h cosec 2g = h(1 + u²)/2u, y c = h(1 + t²)/2t.

También, a = h(cot g– cot b) = h[(1 - u²)/2u – (1 - t²)/2t].

Sustituyendo estos valores para a, b y c en (1), obtenemos el resultado.

Teorema 1. Sean B, C, D puntos alineados en ese orden, y sea A un punto no alineado con ellos. Sean r, q, p los radios de las circunferencias inscritas en ABC, ACD y ABD, y sea h la longitud de la altura desde A a BC. Entonces

Demostración. Sea Z un punto de la prolongación de BD y representemos los ángulos ÐZBA, ÐZCA, ÐZDA por 2b, 2g, 2d, siendo 0 < b < g < d < p/2. Por el lema tenemos:

El resultado se deduce de forma inmediata.

Aplicando repetidamente el Teorema 1 o el Lema obtenemos:

Teorema 2. Sean B₀, B₁, ..., B_n puntos alineados en ese orden, sea A un punto no alineado con ellos, y sea r_j el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo AB_j-1B_j. Sea r el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo AB₀B_n. Entonces

El Teorema 1, el Teorema 2 con n=3 y el Teorema 2 con r₁ = r₂ = ... = r_n pueden encontrarse en el libro Traditional Japanese Mathematics Problems of the 18th and 19th Centuries, de Hidetosi Fukagawa y John F. Rigby.