INCÍRCULOS GEMELOS |
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Propuesto por Francisco Javier García Capitán
Un triángulo se divide en partes trazando líneas desde un vértice de manera que los círculos inscritos en los triángulos resultantes son todos iguales. Entonces, si h es la altura del triángulo respecto a ese vértice y d es el diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo inicial, el diámetro x de los n círculos iguales satisface la fórmula
Sakabe Kohan (1759-1824), matemático japonés. "There is a triangle which is divided into smaller triangles by a oblique lines so drawn from the vertex that the small inscribed circles as shown in the figure are all equal. Given the altitude h of the triangle and the diameter d of the circle inscribed in the triangle, required to find of the diameter of one of the n equal circles". (A history of Japanese Mathematics, by David Eugene Smith and Yoshio Mikami, p. 210) Solución de José María Pedret con la inestimable ayuda de Francisco Javier García Capitán. Noviembre 2005. |
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INTRODUCCIÓN |
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Aunque existen soluciones más simples y elegantes, vamos a resolver este enunciado planteando las figuras geométricas correspondientes mediante CABRI II Plus. Las fórmulas que aparecen han sido comprobadas todas en MATHEMATICA; pero podría muy bien ocurrir que se hubiera deslizado algún error de transcripción. La idea consiste en establecer una construcción para las tangentes desde A a los círculos pequeños. Establecida la construcción demostraremos que es cierta. |
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PLANTEAMIENTO |
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Por un punto B del plano trazamos una recta horizontal y una recta cualquiera. Sobre la segunda recta tomamos un punto A. Por A trazamos una perpendicular que corta en H a la recta horizontal. Trazamos la bisectriz de ABH. Sobre BA un punto M y por M una paralela a BH. La intersección de la bisectriz y la recta anterior nos da el centro del círculo tangente a los lados de HBA (círculo azul). Sobre BA tomamos B1 simétrico de B respecto a M y por B1 una paralela a BH que corta a AH en H1. Por el centro del círculo, perpendicular que corta a B1 H1 en T1 que es punto de tangencia.
AH = h y HH1 = x = diámetro de los n círculos idénticos inscritos en la base. B1H1 divide a AH en la siguiente proporción
Por lo tanto, trazando por H1 una paralela a B1 H cortamos a BA en B2. La paralela por B2 a BH corta a AH en H2. B2H2 divide a AH en la siguiente proporción
Y siguiendo indefinidamente obtendríamos
Como cualquier círculo inscrito posterior es homotético al primero (azul), los distintos puntos de contacto estarán sobre la recta BT1 y por tanto el n-ésimo punto de contacto será
El centro de cada círculo inscrito posterior esta en la intersección de la bisectriz y una perpendicular a BH por el punto de contacto.
Trazamos sólo las perpendiculares por cada punto de contacto. La perpendicular por T2 corta a B1H1 en L1. La perpendicular por T4 corta a B2H2 en L2. ... La perpendicular por T2i corta a BiHi en Li.
Vamos a demostrar que ALn es el tercer lado del triángulo, en la página siguiente haremos la comprobación para n=1, n=2, ..., n=8.
Trazando las correspondientes bisectrices de cada ALi con la base y obteniendo las intersecciones de dichas bisectrices con la paralela por M a la base, tenemos los centros de los 8 círculos, todos con el mismo radio y inscritos a cada una de las n partes del triángulo. Además, los distintos puntos Li están sobre una parábola que pasa por B y su eje es paralelo a la base y pasa por A.
A es el foco. La directriz es simétrica respecto al vértice de la altura AH. El vértice es la intersección de la recta de puntos de contacto BT1 y una paralela por A a BH.
y la parábola queda
Teniendo en cuenta
Y sustituyendo la ordenada en la parábola
El punto Ln es
Como las coordenadas de A son
la recta ALn es
Esta recta al eje de abscisas en el punto Pn con Y=0
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EL TRIÁNGULO n-ésimo |
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Calculamos ahora la longitud de los lados del triángulo formado por A, Pn, Pn - 1, su semiprerímetro sn y con todo ello el radio rn de su círculo inscrito . Basta demostrar que rn es igual a x/2 para todo n .
con lo que nos queda
siendo
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CÁLCULO DE bn Simplifiquemos ahora bn. Trabajaremos con bn2 para evitar la raíz.
hallamos la raíz cuadrada sabiendo que, al ser una longitud, bn>0
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CÁLCULO DE cn Simplificamos ahora cn. De nuevo trabajaremos con el cuadrado.
Obtenemos la raíz cuadrada de cn teniendo en cuenta que, al ser una longitud, cn>0
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CÁLCULO DE rn Sustituyendo ahora en rn
¡¡¡ SE VERIFICA EL RESULTADO BUSCADO !!!
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UN EJEMPLO |
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Para acabar trazamos los distintos círculos (rojos) inscritos para los sucesivos valores de n. Hemos rellenado el círculo correspondiente a n=8. |
