Incírculos gemelos

 

Un triángulo se divide en partes trazando líneas desde un vértice de manera que los círculos inscritos en los triángulos resultantes son todos iguales. Entonces, si h es la altura del triángulo respecto a ese vértice y d es el diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo inicial, el diámetro x de los n círculos iguales satisface la fórmula

Sakabe Kohan (1759-1824), matemático japonés. "There is a triangle which is divided into smaller triangles by a oblique lines so drawn from the vertex that the small inscribed circles as shown in the figure are all equal. Given the altitude h of the triangle and the diameter d of the circle inscribed in the triangle, required to find of the diameter of one of the n equal circles". (A history of Japanese Mathematics, by David Eugene Smith and Yoshio Mikami, p. 210)

(3-Dic-2005) John F. Rigby generaliza la fórmula en una solución parecida a la Darij Grinberg que aparece más abajo (aunque fue escrita con anterioridad).

(30-Nov-2005) Jose María Pedret aporta esta solución en la que para un x dado de antemano se establece una construcción para las tangentes desde el vértice a los círculos pequeños , comprobando que la construcción es válida.

(25-Nov-2005) Solución de Darij Grinberg

La clave de la solución está en el siguiente

Lema. Sea ABC un triángulo, ha su altura desde el vértice A y d el diámetro de su circunferencia inscrita. Entonces

Demostración. Sean S y s el área y el semiperímetro del triángulo ABC, y r el radio de la circunferencia inscrita a ABC. Teniendo en cuenta las fórmulas para el área

podemos expresar

De aquí,

Observación: Aquí Darij Grinberg ha usado que, para el ángulo B,

Solución del problema. Aplicamos el lema anterior a los n triángulos en que hemos dividido el triángulo ABC. Los diámetros de todos los círculos pequeños son iguales a x y la altura de todos los triángulos es h, por lo que obtenemos n expresiones diferentes para 1 - x/h, cada una como producto de dos tangentes.

Multiplicando todas estas expresiones obtenemos (1 - x/h)n como producto de 2n tangentes. Pero, en realidad, 2n-2 de estas tangentes se cancelan entre sí, ya que pueden agruparse por parejas de la forma

Lo que queda es el producto de las tangentes de los ángulos mitad de los ángulos B y C del triángulo ABC. Aplicando el lema de nuevo, este producto es igual a 1 - d / h. Por tanto,