¿Por qué no te vas al infinito?
Consideramos un teorema de geometría proyectiva y generamos multitud de enunciados mediante el envío de determinados puntos o rectas al infinito.
 
Consideramos el siguiente enunciado:
En el plano proyectivo, sean e y f dos rectas que pasan por un punto P. Sean A, B, C tres puntos de e distintos de P, y sean A', B', C' tres puntos de f distintos de P. Supongamos que las rectas AA', BB', CC' se cortan en un punto T. Sean Q = AB' Ç A'B y R = BC' Ç B'C. Entonces los puntos P, Q y R están alineados.
Veamos como cambia la figura y el enunciado cuando alguno de los elementos que vemos en ella se van al infinito.
 
Q es el único punto del infinito nombrado en la figura.
En el plano euclídeo, sean e y f dos rectas que pasan por un punto P. Sean A, B, C tres puntos de e distintos de P, y sea A' un punto de f distinto de P. Si la paralela por A a A'B corta en B' a f, llamamos T = AA' Ç BB', C'=CT Ç f y R=B'C ÇBC'. Entonces PR es también paralela a A'B.
 
C' es el único punto del infinito nombrado en la figura.
En el plano euclídeo, sobre dos rectas e y f que se cortan en el punto P se dan los puntos A, B y A', B', respectivamente. Si T
es la intersección de AA' y BB', llamemos C a la intersección de e con la paralela a f por T, y R a la intersección de B'C con la paralela a f por B. Sea, además Q = AB' Ç A'B. Entonces los puntos P, Q y R están alineados.
 
P es el único punto del infinito nombrado en la figura.
En el plano euclídeo, dadas dos rectas paralelas e y f, si A, B, C y A', B', C' son dos ternas de puntos sobre e y f, respectivamente, tales que AA', BB' y CC' son concurrentes, entonces la recta que pasa por los puntos Q = AB' Ç A'B y R = BC' Ç B'C es paralela a las rectas e y f.
 
T es el único punto del infinito nombrado en la figura.
En el plano euclídeo, dadas dos rectas paralelas e y f que se cortan en el punto P, si tres rectas paralelas las cortan en los puntos A, B, C y A', B', C', respectivamente, entonces los puntos P, Q = AB' Ç A'B y R = BC' Ç B'C están alineados.
 
f es la recta del infinito.
En el plano euclídeo, tres rectas que pasan por un punto T cortan a otra recta e en tres puntos A, B y C. Si Q es la intersección de la paralela a TB por A con la paralela a TA por B, y R es la intersección de la paralela a TB por C con la paralela a TC por B, entonces la recta QR es paralela a la recta AB.
 
PR es la recta del infinito
Sea T el punto de corte de las diagonales del paralelogramo BCB'C'. Si A está sobre la recta BC y AT corta en A' a la recta B'C', entonces las rectas A'B y A'C son paralelas.
 
PT es la recta del infinito
Sean e y f son dos rectas paralelas. Los puntos A, B, C están sobre e y los puntos A', B', C' están sobre f, siendo AA'; BB' y CC' rectas paralelas. Entonces, la recta que une los puntos Q = AB' Ç A'B y R = BC' Ç B'C es paralela a e y a f.
 

Otras posibilidades:

  • QT es la recta del infinito y no pasa por C.
  • CC' es la recta del infinito y no pasa por Q.
  • CQ es la recta del infinito y no pasa por C'.