Sea O el circuncentro de un triángulo acutángulo ABC y D un punto en el arco menor BC de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Sean E y F puntos en los lados AB y AC respectivamente, tales que ÐBDE = ÐOAC y ÐCDF = ÐOAB. Demuestre que la recta EF pasa por el ortocentro del triángulo ABC.

XX Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas. Cartagena de Indias, 2005.

Supongamos que las alturas del triángulo ABC desde B y C cortan a la circunferencia circunscrita en M y N, respectivamente.

El triángulo AOB es isósceles, siendo ÐOAC = (180º-2B)/2 = 90º-B = ÐMCB = ÐBDM. Esto quiere decir que E es precisamente el punto de intersección de MD y AB.

Análogamente F es la intersección de DN y AC.

Entonces tenemos que los puntos E = MD Ç AB, H = BN Ç CM y F = DN Ç AC son los puntos de intersección de lados opuestos del hexágono MDNBAC y, según el teorema de Pascal, los tres puntos estarán alineados.