Una vez elegidos
los dos primeros puntos A y B, para que el triángulo sea
obtusángulo, el tercero deberá estar en el interior del círculo
de diámetro AB, o en los semiplanos que hay a la izquierda y derecha
de dicho círculo.
El problema de los triángulos obtusángulos |
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Propuesto
por Mariano Nieto Viejobueno
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Si elegimos al azar tres puntos del plano, ¿cuál es la probabilidad de que el triángulo resultante sea obtusángulo?
Una vez elegidos
los dos primeros puntos A y B, para que el triángulo sea
obtusángulo, el tercero deberá estar en el interior del círculo
de diámetro AB, o en los semiplanos que hay a la izquierda y derecha
de dicho círculo.
En la figura, vemos que la región amarilla, correspondiente a las posiciones del C para que el triángulo sea obtusángulo parece ser infinitamente mayor que la región blanca (dos semiplanos completos más un círculo frente a una pequeña franja menos el círculo).
Según esto, ¿podríamos decir que la probabilidad pedida
es 1?
...
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Desde aquí agradezco a Mariano Nieto la propuesta de este problema. Inicialmente entendí el enunciado de otra manera, lo cual ha dado lugar a una variante del problema. ____________________________________________________________________________________
El profesor Valentin Garibay hace la siguiente aportación:
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Parece el tipico enunciado poco preciso (por no decir tramposo) que precisa matizarse. Desde un punto de vista formal, digamos de entrada que no existe una
probabilidad uniforme en espacios con medida de Lebesgue infinita. Todo intento por encajar esta idea difusa de probabilidad uniforme en el plano mediante una probabilidad es incompatible con sus axiomas (y, desde un punto de vista "intuitivo" conduciria a contradicciones evidentes: Por ejemplo, la probabilidad de todo semiplano seria 1/2, la de cualquier banda, 0 y la de todo conjunto acotado debera ser 0; al tomar una sucesión de conjuntos acotados expandiendose a todo el plano, tendríamos una sucesión de conjuntos de probabilidad 0 que converge a uno de probabilidad 1 y fallaría la idea (importante e intuitiva) de continuidad de la probabilidad ... Sencillamente, una probabilidad uniforme en R2 no existe. Cualquier pretendida solucion (incluida la que planteas) carecerá por tanto de sentido. El primer asunto estaria pues en reformalizar las palabras del enunciado:
"elegir al azar un punto del plano" En este sentido, un reflejo natural sugiere resolver el problema en una region acotada (cuadrado, círculo...) y después hacer que esta se expanda hacia todo R2. Posiblemente, la solución del problema asi reducido solo dependa de la forma de la región y no de su tamaño... Pero sospecho que la forma de la region resulte determinante y la solución dependa de ella. |
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Desde aquí agradezco a Mariano Nieto la propuesta de este problema. Inicialmente entendí el enunciado de otra manera, lo cual ha dado lugar a una variante del problema.