Si
elegimos tres segmentos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
formen un triángulo obtusángulo?
El problema de los triángulos obtusángulos |
Si
elegimos tres segmentos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
formen un triángulo obtusángulo?
Este problema es una variante de otro, propuesto por Mariano Nieto Viejobueno.
Es conocido que cuando el espacio muestral es infinito se hace más complicado el cálculo de probabilidades y, dependiendo de un planteamiento u otro, aun siendo ambos bastante razonables, podemos llegar a conclusiones completamente distintas.
No obstante intentaremos atacar este problema identificando cada terna x,y,z de números positivos con un punto del espacio (en este caso, todos estarán en un octante).
Para que tres números positivos x,y,z formen un triángulo la suma de dos de ellos deberá ser mayor que el tercero, por lo que deben cumplirse las desigualdades x + y > z, x + z > y, y + z > x. Esto significa que el punto x,y,z debe estar en el interior de la pirámide formada por los tres planos x+y-z=0, x-y+ z=0, x-y-z=0. En la figura se han dibujado las caras de esta pirámide cuando la misma es cortada por un plano de la forma x+y+z=k.
Para que el triángulo de lados x,y,z sea obtusángulo, deberá cumplirse una de las desigualdades z2>x2+y2, x2>y2+z2, y2>x2+z2.
La primera de ellas indica que el punto debe estar dentro del cono x2+y2=z2, que se muestra en la figura en color azul claro. Por tanto, para que el triángulo sea obtusángulo, el punto deberá estar en la región correspondiente a uno de los tres conos, y por supuesto, dentro de la pirámide.
