Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado. Sea ABC...XYZ un polígono regular de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n–3 diagonales que salen del vértice A dividen al triángulo ZAB en n–2 triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo.

XLI Olimpiada Matemática Española (2005)

En la figura de la derecha hemos representado el caso del
octógono ABCDEFGH, pero el razonamiento es válido para
cualquier polígono. Consideremos una inversión con centro A y
radio de inversión r=1. La circunferencia circunscrita
al polígono pasa por el centro de inversión, por lo que su imagen
es una recta, la recta BH que pasa por los puntos de
intersección de ambas.

Si consideramos uno de los triángulos pequeños AUV y su imagen
ACD, estos triángulos son semejantes y teniendo en cuenta la
fórmula que relaciona las longitudes de segmentos transformados
por una inversión,

es decir,