Se considera un triángulo ABC con BAC =45º y ACB=30º. Si M es el punto medio del lado BC, se pide demostrar que AMB=45º y que BC·AC=2·AM·AB.

Fase local de la XLI Olimpiada española (2005)

Figura local2005-4.fig

Solución:

Usamos que el ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad que el ángulo central que abarca el mismo arco.

Considerando la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, los arcos correspondientes a C y A deben ser 90º y 60º, respectivamente, por lo que es fácil determinar el triángulo, como en la figura, en la que D es el punto medio de OB y AE es la perpendicular a OB por D.

Al ser semejantes los triángulos MBA y ABC tenemos AM : BM = AC : AB, es decir AM·AB=AC·BM = AC·(1/2) BC, de donde 2·AM·AB=AC·BC.