Lugar de incentro

 

Sean M y N los puntos medios tomados sobre dos lados cualesquiera del triángulo ABC. Sea X un punto variable elegido en el otro lado. Se pide el lugar geométrico descrito por los incentros cuando X se mueve sobre la recta que contiene al lado en el que se encuentra.
Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez
Este problema es una versión para el incentro de otros para el baricentro, circuncentro y ortocentro. Ver los problemas 238 y 248 de la página de Ricardo Barroso Campos.

 

Análisis con Cabri

Consideramos el caso en que M y N son los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente y X se mueve a lo largo de la recta BC.

La herramienta Lugar geométrico de Cabri nos muestra que el lugar geométrico pedido es una curva parecida a una mitad de elipse, pero si usamos la herramienta Coordenadas o Ecuación de Cabri II Plus vemos que la ecuación de dicho lugar geométrico

no corresponde a una cónica.

Solución con Mathematica

El lugar geométrico buscado está determinado por los puntos medios M y N, de manera que para encontrar una ecuación lo más reducida posible supondremos que BC está sobre el eje x y que el eje y es la mediatriz del segmento MN. Por tanto, tendremos M=(-u, v), N=(u, v) y X=(t, 0).

Para calcular las coordenadas del incentro J del triángulo MXN no usaremos el método de hallar la intersección de dos bisectrices, ya que en el cálculo de ambas aparecerán también las bisectrices exteriores correspondientes, teniendo en cada caso que decidir cual de ellas nos interesa. Para obtener J de una forma más directa, tendremos en cuenta que, en general, el incentro I del triángulo ABC tiene coordenadas baricéntricas a:b:c, de manera que podemos obtener J con la fórmula

Teniendo en cuenta estas consideraciones, realizamos los siguientes cálculos.

Podemos despejar y en función de x para obtener una ecuación explícita de la curva:

La que nos interesa es la primera, como se comprueba en este caso particular:

También podemos obtener una visión más global de la curva: