Ortocentros alineados

 

Si una transversal corta a los lados BC, CA, AB del triángulo ABC en los puntos X, Y, Z, entonces los ortocentros H, Ha, Hb, Hc de los triángulos ABC, AYZ, BZX y CXY están alineados.

Podemos demostrarlo usando el teorema de Pappus. Llamemos U, V, W a los puntos del infinito de las rectas perpendiculares a las rectas YZ, AY, ZA, respectivamente. Entonces tenemos que Hb = BU Ç XW, Hc=CU Ç XV y H = CW Ç BV. Los puntos B, C, X están alineados, y los puntos U, V, W también lo están (en la recta del infinito). Por tanto, usando el teorema de Pappus, los puntos Hb, Hc y H están alineados. Por simetría, Ha estará alineado con ellos.

Referencia:

Atul Dixit and Darij Grinberg, Orthopoles and the Pappus Theorem,
Forum Geometricorum, 4 (2004) 53--59.

A la recta que contiene a los cuatro ortocentros se le llama recta de Steiner del cuadrilátero formado por el triángulo y la transversal.

Teniendo en cuenta que una recta de Steiner siempre pasa por el ortocentro H del triángulo ABC, podemos plantearnos:

¿Cuándo la recta de Steiner correspondiente a una transversal es precisamente la recta de Euler del triángulo ABC?

En la figura siguiente vemos que cuando un punto P está sobre la polar trilineal del punto de Steiner S del triángulo ABC, la recta de Steiner correspondiente a la polar trilineal de P es la recta de Euler del triángulo ABC.

¿Será alguna vez la recta de Steiner perpendicular a la transversal?

Podemos comprobar que esto ocurrirá solo si esta tansversal es paralela a uno de los lados del triángulo, es decir si es la polar trilineal de un punto P que está sobre alguna de las medianas. En ese caso la recta de Steiner será la altura perpendicular a ese lado (dos de los ortocentros serán puntos del infinito).

¿Y cuándo la recta de Steiner es paralela a la transversal?

Resulta ser que cuando la transversal sea una de las rectas de Simson del triángulo ABC.