La igualdad R·ha = r(r+a)

 

Es fácil ver que un triángulo ABC con A=90º cumple la igualdad:
(1)

En efecto, para cualquier triángulo ABC, llamando S a su área,

En el caso del que el triángulo ABC sea rectángulo, con A=90º,

La pregunta es: ¿Qué otros triángulos cumplen la igualdad (1)?

Para responder a esta pregunta, lo que debemos hacer es eliminar r de las relaciones:

\left\{ \begin{aligned} & r(r + a) = \frac{bc}{2},\\& r^2 = \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}.l \\ \end{aligned} \right.

Una vez hecho esto obtenemos que aparte de los triángulos rectángulos en A, los triángulos que cumplen (1) son aquellos que cumplen la relación:

5 a^4-2 (b+c) a^3-2 (b-2 c) (2 b-c) a^2+2 (b+c)(b^2-4 b c+c^2) a-(b+c)^2 (b^2+c^2)=0.

Estos triángulos son obtusángulos y, fijando los vértices B y C, el punto A describe una curva parecida a una elipse, pero que es de grado superior.

Aquí vemos como el lugar geométrico de A señalado en rojo es parte de otra curva de grado superior:

En general, los puntos de esta curva no son construibles con regla y compás. Lo que sí podemos es encontrar algunos que sí lo sean. Por ejemplo, haciendo b=2c obtenemos la relación

que es construible con regla y compás, por ejemplo, teniendo en cuenta que el número entre paréntesis es solución de la ecuación

La construcción se muestra en la siguiente figura. Fijamos los puntos B y C, y construimos a partir de ellos el tercer vértice A del triángulo.

  • Trazamos una recta cualquiera que pase por B y, desde B, marcamos los puntos equidistantes 1, 2, 3, 4, 5.
  • La paralela a 5C por 3 corta en J a BC.
  • La paralela a 3C por 2 corta en K a BC.
  • K' es el punto simétrico de K respecto de C.
  • La perpendicular por C a BC encuentra en L a la circunferencia de diámetro BK'.
  • La recta que une L con el centro de la circunferencia con diámetor JC encuentra a ésta primero en M.
  • M' es el punto simétrico de M respecto de L.
  • Las distancias ML y MM' serán los lados BA y CA del triángulo buscado.