Sea ABC un triángulo, H el ortocentro de ABC e XYZ el triángulo ceviano de H. Sean D y E son las proyecciones ortogonales de X sobre BY y CZ. Entonces:

1. El triángulo AYZ es semejante a ABC.
2. Las rectas DE e YZ son paralelas.
3. Si DE corta a CA y AB en B' y C', respectivamente, entonces ÐXC'A = ÐXB'A = 90º.

Nos podemos plantear qué otros puntos, aparte del ortocentro H cumplen estas propiedades.

1. El triángulo AYZ es semejante a ABC.

El lugar geométrico de los puntos que cumplen esta propiedad es la hipérbola equilátera que, además de pasar por el ortocentro, tiene su centro en el punto medio de BC, y tiene asíntotas paralelas a las bisectrices interior y exterior del triángulo ABC correspondientes al vértice A.

2. Las rectas DE e YZ son paralelas

En este caso, los puntos que cumplen la propiedad están sobre una curva de quinto grado.

La ecuación de la curva es

Pasa por los vértices del triángulo, por el ortocentro y por los pies de las tres alturas. Así queda la curva cuando el triángulo es equilátero:

3. Si DE corta a CA y AB en B' y C', respectivamente, entonces ÐXC'A = ÐXB'A = 90º.

El ángulo XC'A es recto siempre que P sea un punto de la circunferencia ACH, y, análogamente, el ángulo XB'A es recto cuando P es un punto de la circunferencia ABH. En particular, cuando P=H, los dos ángulos son rectos.