Sea ABC un triángulo y sea X un punto sobre BC. Trazamos paralelas por B y C a AX que cortan en M y N a CA y AB respectivamente. Consideremos los puntos de intersección E = XM Ç AB y F = XN Ç CA.

1) Las rectas CE y BF concurren en el punto medio X' de AX.

2) Si prologamos BF y CE hasta cortar a CN y BM en F' y E', respectivamente, resulta que A, E' y F' están alineados.

3) El triángulo AEF es semejante a ABC si y solo si X es el punto medio de BC.

4) El triángulo AFE es semejante a ABC si y solo si X =(0 : v : w) es alguno de los dos puntos tales que

5) La figura siguiente muestra la construcción que da Jean-Pierre Ehrmann de estos dos puntos (nombrados como U₁ y U₂):

• J es el centro de la circunferencia de Apolonio del triángulo ABC correspondiente a A.
• A' es el punto medio de BC.
• U es el punto simétrico de J respecto de A'.
• BCD es un triángulo equilátero con base BC.
• U₁ y U₂ son los puntos de intersección de la circunferencia con centro U y radio UD.

6) Aquí vemos la construcción para X=U₂.