Dos alineaciones y un lugar

 

Sea ABC un triángulo. Consideremos el triángulo A'B'C' simétrico de ABC respecto de un punto cualquiera O del plano del triángulo ABC. Consideremos además los puntos

X = AA' Ç BC', Y = BB' Ç CA', Z = CC' Ç AB'
U = AA' Ç B'C, V = BB' Ç C'A, W = CC' Ç A'B

Entonces

  1. Demostrar que los puntos X, Y, Z y U, V, W están alineados, siendo paralelas las rectas XYZ y UVW.
  2. Hallar el lugar geométrico de los puntos O para los que las rectas XYZ y UVW son paralelas a la recta BC

Aquí vemos la alineación de XYZ y UVW.

Aquí vemos un caso en el que XYZ es paralela a BC. El punto O está sobre la elipse resultante de hacer una homotecia de centro A y razón 1/2 a la circunelipse de Steiner, que es la elipse centrada en el baricentro que pasa por los tres vértices del triángulo.