Triángulos semejantes gemelos

 

Sea ABC un triángulo. Consideremos el triángulo A'B'C' simétrico de ABC respecto del circuncentro O. Consideramos los puntos [Let ABC be a triangle. Let A'B'C' be the reflection of ABC with respect the circumcenter O. We also consider the points]

A1 = A'C Ç B'A, B1 = B'A Ç C'B, C1 = C'B Ç A'C
A2 = A'B Ç C'A, B2 = B'C Ç A'B, C2 = C'A Ç B'C

Entonces tenemos: [Then we have]

Los triángulos A1B1C1 y A2B2C2 son semejantes al triángulo ABC. [Triangles A1B1C1 and A2B2C2 are both similar to ABC.]

Podemos hacer la misma construcción cambiando el punto O por cualquier otro punto P. Entonces tenemos que [If we have he same construction for any point P then we have]

Si P está sobre la elipse inscrita de Steiner (tangente a los lados del triángulo en los puntos medios de los lados y centrada en el baricentro), los triángulos A1B1C1 y A2B2C2 se reducen cada uno de ellos a un punto que está sobre la circunelipse de Steiner (centrada en el baricentro, pasando por los vértices del triángulo).
[If P is on the Steiner inellipse (tangent to the sidelines at its midpoints and centered at the centroid), then triangles A1B1C1 y A2B2C2 degenerate in a point, each lying on the Steiner circumellipse (ellipse passing through the vertices of the triangle and centered at the centroid of the triangle.]

Dejando aparte los dos casos anteriores, los triángulos A1B1C1 y A2B2C2 serán semejantes al triángulo ABC si y solo si P está sobre la circunferencia de los nueve puntos del triángulo ABC.
[For the remaining cases, triangles A1B1C1 y A2B2C2 are similar to ABC if and only if P is on the nine point circle of ABC.]

 

La siguiente figura muestra los centros K1 y K2 de las semejanzas entre el triángulo ABC y los triángulos A1B1C1 y A2B2C2, respectivamente.

[The following figure shows the similarity centers K1 and K2 of the similarities between ABC and triangles A1B1C1 y A2B2C2, respectively.]

Resulta que:

  • El lugar geométrico de K1 y K2 son dos circuncónicas del triángulo ABC, que se cortan siempre en el punto de Tarry del triángulo ABC. [The locus of K1 and K2 are two circumconics of ABC, that intersect at the Tarry point of ABC.]
  • Estas circuncónicas tienen ecuaciones [These circumconics have equations ]
\begin{aligned} & S_B yz + S_C zx + S_A xy = 0, \\& S_C yz + S_A zx + S_B xy = 0.\end{aligned}
  • Si P=X115, el centro de la hipérbola de Jerabek del triángulo ABC, entonces los triángulos A1B1C1 y A2B2C2 degeneran en un punto. En este caso, resulta que P es el punto medio de K1 y K2. [If P=X115, the center of the Jerabek hyperbola of ABC, then triangles A1B1C1 and A2B2C2 degenerate in a point. In this case, P is the midpoint of K1 and K2.]