Comenzamos indicando un interesante resultado:

Por ahora, no vamos a demostrar aquí este enunciado, sino que vamos a intentar ver en qué medida lo podemos generalizar Teniendo en cuenta que el triángulo formado por los excentros es el triángulo anticeviano del incentro I, podemos plantearnos para qué puntos P, al considerar su triángulo anticeviano P_aP_bP_c, y los ortocentros H_a, H_b, H_c de los triángulos P_aBC, P_bCA, P_cAB, resultará que el triángulo H_aH_bH_c tiene lados paralelos a los del triángulo ABC.

El lugar geométrico de P resulta ser la cúbica de Thomson. Es decir,

Podemos comprobarlo usando coordenadas baricéntricas y Mathematica:

Esto indica que los triángulos H_aH_bH_c y ABC serán homotéticos. Comprobemos además que

En efecto: Las rectas BH_c y CH_b son paralelas, ya que ambas son perpendiculares a P_bP_c. Si además estamos suponiendo que BC es paralela a H_bH_c tendremos que BCH_bH_c es un paralelogramo. Sea Q el baricentro de este paralelogramo. Haciendo lo mismo con CAH_cH_a, resultará que también es un paralelogramo, con el mismo centro Q, por tanto H_aH_bH_c es el resultado de aplicar a ABC una simetría central de centro Q.

La tabla siguiente muestra los valores de Q para algunos puntos P sobre la cúbica de Thomson:

Recordemos que X1=incentro, X2=baricentro, X3=circuncentro, X4=ortocentro, X5=centro de la circunferencia de los nueve puntos, X6=punto simediano, X9=mittenpunkt, X57=conjugado isogonal de X9.

Bernard Gibert informa de que el punto Q está siempre sobre el complemento de la cúbica de Darboux, es decir, el anticomplemento de Q estará sobre la cúbica de Darboux.

A continuación vemos la figura correspondiente al punto simediano K (=X6). Su triángulo anticeviano es el triángulo tangencial. El centro de simetría de los triángulos ABC y H_aH_bH_c es el centro N(=X5) de la circunferencia de los nueve puntos.