Semejantes por la altura

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Sean ABC un triángulo, y X un punto tal que AX es perpendicular a BC.
  • Si la circunferencia con centro X y radio XA vuelve a cortar a los lados AB y AC en C' y B', respectivamente, entonces el triángulo AB'C' es semejante al triángulo ABC.
  • Si H es el pie de la altura trazada por A, la razón de semejanza es

  • En el caso particular de que X=H, tenemos

Ahora repetimos lo mismo para las tres alturas: Sean X, Y, Z los pies de las alturas trazadas por A, B, y C. Supongamos que

  • La circunferencia con centro X y radio XA vuelve a cortar a las rectas AB y AC en los puntos Cx y Bx, respectivamente.
  • La circunferencia con centro Y y radio YB vuelve a cortar a las rectas BC y BA en los puntos Ay y Cy, respectivamente.
  • La circunferencia con centro Z y radio ZC vuelve a cortar a las rectas CA y CB en los puntos Bz y Az, respectivamente.

Entonces, las rectas BxCx, CyAy y AzBz forman un triángulo UVW perspectivo con ABC. El centro de perspectiva es el punto simediano K del triángulo ABC.
Los seis puntos Ay, Az, Bx, Bz, Cx, Cy están en una misma circunferencia con centro el punto X(52), el ortocentro del triángulo órtico.

En algunos casos, el triángulo UVW es degenerado, se reduce a un punto, el punto simediano K. La figura siguiente muestra el caso de un triángulo isósceles ABC en el que los lados a=BC, b=CA, c=AB cumplen

La condición general para que UVW sea degenerado es que se cumpla la relación

o, de otra forma, cuando

Que se cumpla esta relación es equivalente a que X(52)=K, es decir a que el punto simediano de ABC sea el ortocentro del triángulo órtico de ABC.