Punto de Paasche

 

Sean ABC un triángulo y X un punto sobre el lado BC (distinto de los vértices B y C). La circunferencia con centro A corta a las semirrectas AB y AC en los puntos P y Q, respectivamente, y a las semirrectas opuestas en R y S. Sean, además, los puntos de intersección U = AB Ç XS y V = AC Ç XR. Entonces:

a) Las rectas BC, PQ y UV son concurrentes si y solo si AX es perpendicular a BC.
b) Las rectas PQ y UV son paralelas si y solo si AX es la bisectriz interior del ángulo A.

c) Continuando con el apartado a), si llamamos Ja=J, y análogamente construimos Jb y Jc resulta que Ja, Jb y Jc están alineados, siendo la recta JaJbJc la polar trilineal del punto X(1336).

Mirando en la ETC de Clark Kimberling vemos que:

  • X(1336) es el conjugado isogonal de X(1335),
  • X(1335) es el conjugado armónico de X(1124) respecto del incentro y del punto simediano.
  • X(1124) es el conjugado isogonal de X(1123), el punto de Paasche.

 

Punto de Paasche: Sean D y E circunferencias congruentes tangentes entre sí y a la recta BC, con D además tangente a la recta AB y E además tangente a CA, y con un punto común A' exterior al triángulo ABC. Definimos B' y C' de cíclicamente. Entonces A'B'C' es perspectivo con ABC, y al centro de perspectiva se le llama punto de Paasche, el punto X(1123). Ver Ivan Paasche, Aufgabe P 933, Praxis der Mathematik 1 (1990), pág. 40.