Semejanza y media armónica

 

Sea ABC un triángulo. La mediatriz de BC corta a las rectas BC, CA, AB en A', B', C', respectivamente. Sean M, N, y H los ortocentros de los triángulos CBC' , CBB' y ABC (los dos primeros son isósceles por construcción). Entonces:

a) Los triángulos MaNaH y ABC son semejantes. Calcular el centro y radio de semejanza.
b) La altura AL desde A hasta la recta BC es la media armónica de las alturas (medidas con su signo*) de los triángulos isósceles CBB' y BCC', es decir, el área del triángulo ABC es la media armónica de las áreas de los triángulos isósceles CBB' y BCC'.
* Cuando alguno de los ángulos B o C sea obtuso, los puntos B' y C' quedarán en lados diferentes de la recta BC, por lo que las alturas A'B' y A'C' deberán considerarse con signo distinto.

Aquí hemos aplicado la construcción de Sollertinski para obtener el punto fijo de una transformación afín que lleva ABC en HMN.

Para ello completamos los triángulos ABC y HMN a los paralelogramos ABCD y HMNK y hallamos los puntos

U = AB Ç HM, A' = BC Ç MN, V = CD Ç NK, A = DA Ç KH

siendo entonces S = UV Ç AA' el centro de semejanza, estando por tanto S siempre sobre la mediana AA'.

Figura 1
En la figura siguiente vemos que cuando A=60º, el punto S es exactamente el baricentro del triángulo ABC.
Figura 2
Y en este otros casos vemos que los triángulos ABC y HMN son congruentes. Ello ocurre cuando A está sobre una de las bisectrices del ángulo recto formado por BC y su mediatriz:
Figura 3
Figura 4
En el caso de que el triángulo ABC sea rectángulo en A, tendremos que el centro de semejanza S es el vértice A.
Figura 5