Un lugar geométrico

Sea X sobre la altura AHa de un triángulo ABC. Las perpendiculares por A a BX y CX cortan en V y W a AB y AC, respectivamente. ¿Cuál es el lugar geométrico del punto medio U del segmento VW?
Figura 1

En la figura 1, M es el punto medio del lado BC y N el punto medio de AM. En general, el lugar geométrico de U va a ser una cónica con centro en N. Sin embargo en algunos casos, el lugar geométrico es una recta, la recta HaN, como vemos en la figura 2, donde el triángulo ABC es rectángulo en A.

Figura 2
En las figuras 3 y 4 vemos que cuando los ángulos B y C son agudos, ya sea A agudo u obtuso, el lugar geométrico de U es una hipérbola, como hemos dicho centrada en el punto N, y que pasa por A, Ha, y M.
Figura 3
Figura 4
Cuando el triángulo ABC es rectángulo en B o rectángulo en C, el lugar geométrico de U es la recta paralela a BC por A. En la figura 5 vemos el caso en el que el triángulo ABC es rectángulo en B.
Figura 5
Finalmente, si alguno de los ángulos B o C son obtusos, el lugar geométrico de U es una elipse.
Figura 6

En general, la ecuación (referida a unos ejes por N paralelos a BC y AHa) del lugar geométrico de U es

\frac{8(a^2 + b^2 - c^2 )(a^2 - b^2 + c^2 )}{(b^2 - c^2 )^2 (a^2 - b^2 - c^2 )}X^2 + \frac{8}{b^2 + c^2 - a^2 } Y^2 = 1

Cuando b=c tenemos otro caso especial, las hipérbolas de las figuras 3 y 4 se convierten en una dos semirrectas, situadas sobre la mediatriz de BC:
Figura 7