Elipses lugareñas

Sean ABC un triángulo rectángulo en A, y D sobre BC tal que AD es una altura. Para cualquier punto R sobre AD, trazamos las perpendiculares a BR y CR en R, que cortan a BC en Mb y Mc, respectivamente. Y hallamos los puntos de intersección

Pb = AMb Ç BR, Pc=AMc Ç CR.

Estudiar los lugares geométricos de Pb y Pc al variar R sobre AD.

Por ejemplo, el lugar geométrico de Pb es una elipse. Propiedades de esta elipse:

  • está centrada en el punto Xb sobre BA tal que BXb:XbA =1:2,
  • pasa por el punto Yb sobre BA tal que BYb:YbA = 2:1,
  • es tangente a la recta p paralela a BC por A, siendo el punto de intersección de esta recta,
  • el punto de tangencia Sb con la recta p es la proyección ortogonal de B sobre p,
  • y como consecuencia de lo anterior, la elipse es también tangente a la recta q paralela a BC simétrica de p respecto del centro Xb, y distante de BC la tercera parte de la distancia de BC a p.
En el caso general de un triángulo no rectángulo en A el lugar geométrico de Pb es una cúbica que tiene a la recta AB por asíntota, y que pasa por A, B, D y Sb. En el caso particular de que el triángulo ABC es rectángulo en A esta cúbica se descompone como una elipse y una recta (el lado AB), aunque los puntos Pb están en este caso siempre sobre la elipse.
La ecuación del lugar de Pb es