Problemas de Geometría

Sean Db y Dc los puntos simétricos de A respecto de las bisectrices interiores de los ángulos B y C, respectivamente, y sean Ec, Ea, y Fa, Fb definidos de forma similar. Sean, Ia, Ib, Ic los excentros del triángulo ABC.

a) Los triángulos IaBC, IbCA, IcAB son semejantes a ADbDc, BEcEa y , CFaFb respectivamente.

b) Los cuadriláteros BEaCFa, CFbADb y ADcBEc son trapecios, siendo los puntos de intersección de sus diagonales también los puntos de intersección de las bisectrices interiores con los lados opuestos del triángulo ABC.

	Las tres cabezas
Sean Db y Dc los puntos simétricos de A respecto de las bisectrices interiores de los ángulos B y C, respectivamente, y sean Ec, Ea, y Fa, Fb definidos de forma similar. Sean, Ia, Ib, Ic los excentros del triángulo ABC. a) Los triángulos IaBC, IbCA, IcAB son semejantes a ADbDc, BEcEa y , CFaFb respectivamente. b) Los cuadriláteros BEaCFa, CFbADb y ADcBEc son trapecios, siendo los puntos de intersección de sus diagonales también los puntos de intersección de las bisectrices interiores con los lados opuestos del triángulo ABC.

c) Las rectas DbEa, FaDc y EcFb son siempre paralelas al eje antiórtico del triángulo del triángulo ABC. El eje antiórtico es la polar trilineal del incentro. También es el eje órtico del triángulo formado por los excentros, cuyo triángulo órtico es es ABC.

d) Podemos preguntarnos qué ocurre si sustituimos el incentro I por un punto cualquiera M, y las bisectrices interiores por las cevianas de M. Entonces obtenemos que: Los cuadriláteros BEaCFa, CFbADb y ADcBEc son siempre trapecios, siendo los puntos de intersección de sus diagonales también los puntos de intersección de las correspondientes cevianas con los lados opuestos del triángulo ABC. Las rectas DbEa, FaDc y EcFb son paralelas a la polar trilineal del punto M en los casos en que M es el incentro o uno de los tres excentros.