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Cuadriláteros inscritos |
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Sea ABCD un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia
y A', B', C', D' los puntos medios de los
arcos AB, BC,CD, DA, respectivamente. Probar
que el cuadrilátero A'B'C'D' tiene sus diagonales perpendiculares. |
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| A cada vértice le asociamos un ángulo entre 0 y 2p. Como el cuadrilátero es convexo, lo podemos suponer orientado en el sentido positivo (antihorario), de manera que si dos vértices contiguos A y B tienen asociados los ángulos a y b, el punto medio del arco AB viene dado por (a+b)/2 si a es menor o igual que b, y por (a+b)/2+p (mód 2p) si a es mayor que b. | |
| Si al cuadrilátero A'B'C'D' así obtenido le aplicamos el mismo proceso, y así sucesivamente, la figura que obtenemos como límite es un cuadrado, en dos posiciones una respecto a la otra girada 90º (en las figuras siguientes el polígono rojo es el último que se ha dibujado) | |
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| Si partimos de un cuadrilátero no convexo, la figura límite del proceso es un segmento, también en dos posiciones, y que son perpendiculares entre sí. | |
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| Cuando consideramos el punto medio del arco menor que une dos vértices en lugar del punto medio del arco en sentido positivo que une dos vértices, la figura va degenerando en un punto. | |
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| Aquí vemos una animación: | |
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