Simétrico del pedal


Partimos de un triángulo cualquiera ABC y de un punto cualquiera P distinto de los vértices. Sea XYZ el triángulo pedal del punto P respecto de ABC, y sean X', Y', Z' los ortocentros de los triángulos AYZ, BZX, CXY, respectivamente. Entonces,

  1. El triángulo X'Y'Z' es el resultado de aplicar a XYZ una simetría central s.
  2. Sean D, E, F los puntos medios de las alturas del triángulo ABC correspondientes a los vértices A, B, C, respectivamente. Entonces, el centro P* de la simetría s  tiene respecto de DEF las mismas coordenadas baricéntricas que P tiene respecto de ABC, es decir, la transformación P ® P* es la aplicación afín que lleva ABC en DEF.
  3. El punto fijo de la transformación P ® P* es el punto simediano K del triángulo ABC.
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1. Aquí vemos la construcción de P* a partir de P:
 
2. Aquí vemos cómo la coordenadas baricéntricas de P* respecto de DEF son las mismas que las de P respecto de ABC. El punto P está sobre CA, más cerca de C que de A, y como resultado P* está sobre FD, más cerca de F que de D.
 
3. Aquí vemos el caso en que P=K, el punto simediano de ABC. Entonces también es P* = K.
 
4. Cálculos con coordenadas baricéntricas
a) Calculamos las coodenadas baricentricas del punto P* respecto de ABC a partir de las de P:

b) Comprobamos que P*  tiene respecto de DEF las mismas coordenadas baricéntricas que P tiene respecto de ABC.