Problema AMM 10810
En la figura siguiente hemos llamado
| UA | Intersección de la paralela por A a CD con BC |
| VA | Intersección de la paralela por A a BC con CD |
y cíclicamente para los demás vértices. Después llamamos
| TA | Intersección de UAVB y AB, |
y también cíclicamente para los demás vértices.
Aquí vemos que la propiedad se cumple aunque el cuadrilátero no sea convexo:
En este caso podemos encontrarnos con casos en los que los vértices del paralelogramo son puntos del infinito, por ser paralelas las rectas que los definen. Algunos de estos puntos son los que se hallan sobre determinada hipérbola, que pasa por A y C, y tiene su centro en el punto (1:-3:1)
En otros casos, cuando D está sobre la paralela a BC por A o en la paralela a AB por C, el paralelogramo tampoco se forma, ya que son coincidentes las rectas cuya intersección los definen.
Sea ABCD un cuadrilátero convexo con ningún par de lados
paralelos. Tomando como referencia, por ejemplo, su lado a=AB-lo mismo,
se hará para los demás lados-, trazamos por los puntos A
y B, paralelas al lado opuesto CD, y, que cortan a los lados adyacentes
a AB, BC y AD(prolongados si es necesario), en los puntos B´y A´,
respectivamente. Ve el enunciado de este problema en Monthly. De esta
forma se tiene el trapecio AB.Obtenemos así, el trapecio AB´BA´.
Sea r, real arbitrario, y Xr, el punto sobre la paralela media r-esima
del trapecio anterior.Lo mismo se construyen sobre los otros lados del
cuadrilátero, BC, CD y DA, los puntos Yr, Zr y Ur, respectivamente,
Probar si es cierto o no las siguientes conjeturas :
a) El cuadrilátero XrYrZrUr, es siempre un paralelogramo que le
llamaremos r-esimo.
Se determinaran sus lados, ángulo y área. Observa que en
el caso r=0, se obtiene el paralelogramo de Varignon de ABCD o aritmético;
el caso r=-1, es el resultado del problema 10809(el armónico).
Puedes ver, para r=0(geométrico), r=2 (cuadrático).
En los casos límites, por ejemplo si ABCD es un paralelogramo todos
estos cuadriláteros coinciden para cualquier r.
b) En los cuatro trapecios cosntruidos sobre los lados ABCD del cuadrilátero
dado, elegimos, en cada uno la otra diagonal que no sea el lado, por ejemplo,
en AB´BA´, tomamos A´B´, y así sucesivamente.
Aquó, caben las siguentes preguntas :
Formaran las cuatro diagonales así elegidas un nuevo cuadrilátero
y qué relación geométrica tiene con ABCD, dado.
