Sobre el problema 77 de la Gaceta

Problema 77
Sean los paralelogramos OABC y OPQR como se indican en la figura y definimos el punto M como la intersección de los segmentos PA y QB.
a) Probar que los puntos R, C y M están alineados.
b) Probar que el triángulo RMA es rectángulo en M si y solo si los paralelogramos de partida son cuadrados.
c) Determinar el lugar geométrico de los puntos M para el caso en el que OABC es un cuadrado fijo y OPQR es un cuadrado variable.

• Solución en pdf de este problema.

Como observamos en esta figura, usando el apartado a) del enunciado, podemos partir de cualquier triángulo MRA y cualquier punto O sobre el lado RA y C sobre RM completar a unos paralelogramos OABC y OPQR.

Sean los paralelogramos OABC y OPQR que se indican en la figura. Definimos los siguientes puntos:

M=PA y QB, N=QA y BR, y S el punto medio del segmento AR.
Probar que:
a) R, C y M son colineales.
b) las rectas AQ, RB y OP concurren en N si y sólo si los paralelogramos OABR y OPQR son semejantes
c) en el caso b), probar que M, N y S son colineales