Perpendiculares sobre el triángulo mediano
 

A'B'C' es el triángulo mediano de ABC.

Trazamos perpendiculares por A', B', C' a AA', BB', CC' respectivamente que determinan el triángulo X, Y, Z
¿Qué relación tiene XYZ con ABC?
Esta cuestión llevó al enunciado del siguiente problema:
Dados dos puntos B y C consideramos el simétrico D de C respecto de B y el simétrico E de B respecto de C, y un punto cualquiera A sobre la circunferencia de diámetro DE.

Entonces:
1) Las medianas BB' y CC' son perpendiculares.
2) Las perpendiculares por B' y C' a las medianas BB' y CC' se cortan en un punto X sobre la mediana AA' de manera que AX:XA' = 1:2.
3) Si las perpendiculares por B' y A' a las medianas BB' y AA' se cortan en Z y las perpendiculares a C' y A' a las medianas CC' y AA' se cortan en Y, entonces el triángulo XYZ es rectángulo.
4) Las rectas XY y XZ pasan siempre por los puntos medios M y N de los segmentos DB y CE, respectivamente.

Y a este otro:

Dados dos puntos B y C, sean A' el punto medio de BC, M y N los puntos medios de BA' y A'C, y N' el punto simétrico de N respecto de C. Supongamos que A está sobre la circunferencia de centro N' y radio N'A'. Sean B', C' los puntos medios de CA y AB, respectivamente. Entonces:
1) Las medianas AA' y CC' son perpendiculares.
2) Las perpendiculares por A' y C' a AA' y CC' se cortan en un punto Y sobre la mediana BB' de manera que BY:YB' = 1:2.
3) Sea X el puntos de intersección de las perpendiculares por B' y C' a BB' y CC', respectivamente, y sea Z la intersección de las perpendiculares por A' y B' a AA' y BB' respectivamente. Entonces el triángulo XYZ es rectángulo.
4) La recta XY siempre pasa por el punto M.