Sorpresa de isósceles
Charlas con JBRM

Sea ABC un triángulo. Sea H el pie de la altura trazada por A, y sean D, E, los pies de las perpendiculares por H a AB y AC, respectivamente. A continuación, sean las intersecciones: I = DE Ç AH, J= BI ÇDH, K = CI Ç EH, N = AJ Ç BC, M = AK Ç BC. Entonces, el triángulo ANM es isósceles.

<<Baricentricas` ;

[Graphics:HTMLFiles/index_2.gif]

ptHa = Pie[ptA, ptB, ptC] ;
ptDa = Pie[ptHa, ptA, ptB] ;
ptEa = Pie[ptHa, ptA, ptC] ;
ptFa = Punto[Paralela[ptHa, ptC, ptA], rtAB] ;
ptGa = Punto[Paralela[ptHa, ptB, ptA], rtCA] ;
ptIa = Punto[Recta[ptA, ptHa], Recta[ptDa, ptEa]] ;
ptIa1 = Punto[Recta[ptA, ptHa], Recta[ptFa, ptGa]] ;
ptJa = Punto[Recta[ptIa, ptB], Recta[ptDa, ptHa]] ;
ptKa = Punto[Recta[ptIa, ptC], Recta[ptEa, ptHa]] ;
ptJa1 = Punto[Recta[ptIa1, ptB], Recta[ptFa, ptHa]] ;
ptKa1 = Punto[Recta[ptIa1, ptC], Recta[ptGa, ptHa]] ;
ptNa = Punto[Recta[ptA, ptJa], rtBC] ;
ptMa = Punto[Recta[ptA, ptKa], rtBC] ;

a)  Los puntos A, J, J'  están alineados

EstanAlineados[{ptA, ptJa, ptJa1}]
True

b) Los puntos A, K y K' están alineados

EstanAlineados[{ptA, ptKa, ptKa1}]
True

c) El triángulo AMN es siempre isósceles (****)
CuadradoDistancia[ptA, ptMa] - CuadradoDistancia[ptA, ptNa]
0

d) Las rectas NF y MG son paralelas a AH (las coordenadas del punto de intersección suman cero)
Punto[Recta[ptNa, ptFa], Recta[ptA, ptHa]]
{2 a^2, -a^2 - b^2 + c^2, -a^2 + b^2 - c^2}

Punto[Recta[ptMa, ptGa], Recta[ptA, ptHa]]
{2 a^2, -a^2 - b^2 + c^2, -a^2 + b^2 - c^2}

e) Las rectas DE y FG se cortan en un punto A* sobre el lado BC.

ptAe = Punto[Recta[ptDa, ptEa], Recta[ptFa, ptGa]]
{0, (a^2 + b^2 - c^2)^2, -(a^2 - b^2 + c^2)^2}

f) Las rectas JK y J'K' también pasan por A*.

Punto[Recta[ptJa, ptKa], Recta[ptJa1, ptKa1]]
{0, (a^2 + b^2 - c^2)^2, -(a^2 - b^2 + c^2)^2}

g) El punto A* y los correspodientes B* y C* están alineados.

ptBe = PermutarTerna[ptAe]
ptCe = PermutarTerna[ptBe]
{-(a^2 + b^2 - c^2)^2, 0, (-a^2 + b^2 + c^2)^2}
{(a^2 - b^2 + c^2)^2, -(-a^2 + b^2 + c^2)^2, 0}

Det[{ptAe, ptBe, ptCe}]
0

Hallemos la ecuación de la recta que los contiene:

Recta[ptAe, ptBe]

{(-a^2 + b^2 + c^2)^2, (a^2 - b^2 + c^2)^2, (a^2 + b^2 - c^2)^2}