a) Sean ABC un triángulo y X  un punto del plano. Trazamos las rectas perpendiculares en X a AX, BX y CX, respectivamente, y estas rectas cortan a las rectas BC, CA y AB en U, V, W, también respectivamente. Entonces U, V y W están alineados.

Observemos que si X es un punto de la altura que pasa por A, el punto U es e el punto del infinito de la recta BC, y ánálogamente con los otros vértices B y C. Si el punto X no está en ninguna de las tres alturas entonces los tres puntos U, V y W serán puntos ordinarios del plano.En cualquier caso podemos hacer

Esto demuestra que los puntos U, V y W siempre están alineados, sean o no puntos del infinito, independientemente también de que X sea o no interior al triángulo ABC.

La figura siguiente muestra un caso particular: En el caso de que el punto X pertenezca a la circunferencia con diámetro CA tendremos U = C y W = A, y la recta UVW será la recta que contiene al lado CA.

Igual podemos considerar respecto de los otros lados.

Igual podemos considerar respecto de los otros lados.

b) ¿Siguen estándo alineados U, V y W si las rectas UX, VX y WX forman con XA, XB, XC un mismo ángulo arbitrario a entre 0 y 180º? Observemos, que el enunciado del apartado anterior corresponde al caso de a=90º.

La respuesta es no. Sólo se cumple cuando a=90º. Para demostrarlo con Mathematica usamos la función CuartaRecta que usa (según las indicaciones de Paul Yiu) los puntos del infinito para construir una recta que pasa por un punto P y que forma con la recta r3 el mismo ángulo que la recta r1 forma con la recta r2.

Usando la función que acabamos de defnir obtenemos

Si ahora imponemos que los puntos U, V y W están alineados obtenemos:

Puede comprobarse que el primer paréntesis no se anula nunca y que el segundo corresponde a la circunferencia con diámetro AU. Si un punto X está en esta circunferencia el ángulo AXU debe ser recto, por lo que a = 90º.