Tres circunferencias iguales

Dado un triángulo cualquiera ABC, trazar tres circunferencias de igual radio, tales que tengan un punto en común y cada una de ellas sea tangente a dos lados del triángulo.
Propuesto por Ignacio Larrosa Cañestro en es.ciencia.matematicas

Análisis:

Figura foro1a.fig

Supongamos el problema resuelto. Sean X, Y, Z los centros de las circunferencias buscadas. Las rectas YZ, ZX, XY, por tener las circunferencias el mismo radio, serán paralelas a BC, CA, AB y el triángulo XYZ homotético a ABC.

Además X, Y, Z están en las bisectrices de los ángulos A, B, C por ser las circunferencias con esos centros tangentes a dos lados del triángulo. El incentro de ABC será el centro de homotecia.

Por último, el punto común a las tres circunferencias estará a la misma distancia de los tres centros, por lo que dicho punto será el circuncentro de XYZ.

Entonces podemos considerar la homotecia, con centro el incentro del triángulo ABC, que lleva el triángulo ABC sobre el triángulo XYZ. Esta circunferencia llevará las circunferencias centradas en A, B, C pasando por el ortocentro en las circunferencias buscadas.

Construcción:


Figura foro1b.fig

Sea ABC el triángulo dado.

  1. Hallamos el circuncentro O del triángulo ABC.
  2. Trazamos circunferencias con centros A, B, C pasando por O.
  3. Trazamos las tangentes comunes a estas circunferencias, que serán paralelas a los lados del triángulo dado y determinarán un triángulo semejante A'B'C'.
  4. Trazamos, si no lo hemos hecho ya las rectas AB, BC, CA.
  5. Sea D el punto de corte de BC con A'B'. Trazamos la paralela a BB' por C y sea E el punto de intersección con B'C'.
  6. Unimos DC' y trazamos la paralela a DC' por E. Esta paralela corta a A'B' en F.
  7. Señalamos el punto G sobre BA de manera que BG = B'F.
  8. Por G trazamos una paralela a BC que corta a las bisectrices de los ángulos B y C en Y y Z respectivamente. Por Y trazamos una paralela a AB que corta a la bisectriz del ángulo A en X.
  9. X, Y, Z son los centros de las circunferencias buscadas.