Distancias
Distancias |
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| Sea P un punto interior al triángulo ABC, cuyos lados mayores son b y c. Sean l, m, n las distancias del punto P a los vértices del triángulo. Demostrar que l + m + n < b + c. |
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Propuesto por Mariano Nieto Viejobueno
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Varias soluciones dadas en www.artofproblemsolving.com
Solución de gemath
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Por ser el punto P interior a ABC,
existen números positivos x, y,
z tales que Entonces tenemos De la misma forma podemos obtener Finalmente, |
Solución de Kostas Vittas, que cita un libro de texto griego: J. Panakis. Triangle's geometry, vol. A, página 125. 'Guttenberg' publications, Athens 1969.
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(1) Por ser AC ³ AB tenemos ÐABC ³ ÐACB. (2) Trazamos una paralela por P a BC, que corta
a los lados AB, AC en los puntos D, E,
respectivamente. (3) Por ser P interior a ABC, en el triángulo APD tenemos ÐAPE > ÐADE. (4) De (2) y (4) deducimos ÐAPE > ÐAED y entonces PA < AE. (5) De los triángulos PBD y PCE deducimos PB < BD + DP and PC < PE + EC. (6) De (4) y (5), PA + PB + PC < AE + EC + BD + DP + PE y de aquí, PA + PB + PC < AC + BD + DE. (7) Como ÐBAC £ ÐACB = ÐAED, y en el triángulo ÐADE tenemos que DE < AD, entonces DE + BD < AD + BD, es decir BD + DE < AB. (8) Finalmente, de (6) y (7), PA + PB + PC < AB + AC, que completa la demostración. |
Kostas Vittas también cita otro libro griego, de D.
Kontogiannis – Iqualities and inequalities in a triangle, página
129, en el que a su vez hay una referencia a
''Visschers, 1902''. La misma referencia aparece en el libro de F.G.M y
la revista Crux Mathematicorum:
Supongamas
que BC £ AB £
AC. Demostraremos que, siendo P interior a ABC,
es