¿Es posible reordenar los números 1, 2, 3, ..., 9 como a(1), a(2), ..., a(9) de manera que los números |a(1)-1|, |a(2)-2|,..., |a(9)-9| sean todos diferentes? ¿Y lo mismo con los números 1,2,3,...,10?

International Mathematical Talent Search - Round 8

Si n=1,..,9 el número |a(n)-n| puede variar entre 0 y 8. Si todos los |a(n)-n| son diferentes existirá un n tal que |a(n)-n|=8, es decir a(n) = n + 8 ó a(n)=n - 8. En el primer caso tendremos n=1, a(n)=9 y en el segundo n=9, a(n)=1.

Supongamos por ejemplo que a(9)=1. Ahora, existirá otro m tal que |a(m)-m|=7. Las posiblidades son a(1)=8, a(2)=9, a(8)=1 y a(9)=2. Esta última posibilidad queda descartada pues hemos supuesto a(9)=1. Suponemos por ejemplo que a(1)=8.

Las posibilidades que quedan para |a(p)-p|=7 son a(2)=8, a(3)=9, a(7)=1 y a(8)=2. Suponemos por ejemplo que a(3)=9.

Procediendo de esta manera vamos completando todos los valores de la permutación a, resultando:

Con un programa en Turbo Pascal encontramos un total de 96 soluciones:

498576321 694758321 794826531 798246351 846957321 859642731 869524731 879246351 946857132 954876213 964758132 968437152 974853162 983764215 986437215 987253614

498657321 695487321 794836251 798253641 847953621 863975421 873695421 879253641 946857213 957468132 964758213 968524713 975386142 984716532 986514732 987326514

598376421 695843721 794853261 798326541 849752631 865943721 874659321 879326541 947586132 957468213 965487132 973685142 975482613 984736215 986531742 987351462

598473621 697358421 795386241 798352461 854976321 869257431 875396421 879352461 947586213 958376142 965487213 973864152 976358142 984751362 986532714 987354216

598643721 793685241 795482631 798425361 859376241 869427531 875469321 879425361 948752613 958472613 968257413 974826513 983761542 986257314 987146532 987431652

693875421 793864251 796358241 798432651 859472631 869437251 875493621 879432651 954876132 958642713 968427513 974836152 983762514 986417532 987154632 987435216