Empaquetado de círculos
¿Cuánto vale el radio de una circunferencia tangente exteriormente a tres circunferencias A(a), B(b) y C(c) que son tangentes exteriores dos a dos?
Referencia: Hidetosi Fukagawa y Daniel Pedoe. Japanese Temple Geometry.

Notación. Representamos con X(x) a la circunferencia con centro X y radio x.

Longitudes de las tangentes exteriores a dos circunferencias

La longitud de tangente exterior común ST a las dos circunferencias exteriores A(a) y B(b) en función de los radios y la distancia entre los centros viene dada por

En efecto, el resultado se deduce fácilmente del teorema de Pitágoras. Además en el caso de límite de que las circunferencias A(a) y B(b) sean tangentes exteriores tendremos AB = a + b, por lo que resultará

 

Relación entre un segmento de tangente y una cuerda

Sean las circunferencias O(r), A(a) y B(b). Supongamos que A(a) y B(b) son tangentes exteriores a O(r) en P y Q, respectivamente, y que ST es la tangente exterior común a A(a) y B(b). Entonces

Este problema aparece propuesto como el Problema 1.2.8 en el libro Japanese Temple Geometry, de Hidetosi Fukagawa).

Llamando q = ÐPOQ, y usando el teorema del coseno,

Ahora usamos la fórmula

Entonces,

 

Radio de la Circunferencia Tangente Exterior a Tres Circunferencias Dadas.

 

Sean A(a), B(b) y C(c) tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos y sea O(r) la circunferencia tangente exteriormente a las tres circunferencias.

Sean P y Q los puntos de contacto de las circunferencias A(a) y B(b) con la circunferencia C(c). Sea N el punto de contacto de O(r) con C(c). Sea H el pie de la perpendicular a la prolongación de QN.

Podemos calcular las longitudes delas cuerdas PQ, PN y QN:

Llamando N' al simétrico de N respecto de C, los triángulos PQH y NN'P son rectángulos, el primero por construcción, y el segundo por ser NN' un diámetro. Además, por ser ángulos inscritos que abarcan el mismo arco, ÐNN'P = ÐPQH, resultando además que los triángulos PQH y NN'P son semejantes. Entonces,

de donde

Ahora, en el triángulo PQN es Sustituyendo,

Simplificando, y despejando,

(1)

La fórmula de Descartes

Representemos con las letras griegas a, b, g, r a los inversos de los radios a, b, c, r, es decir las curvaturas de las circunferencias. Teniendo en cuenta que

,

La fórmula (1) puede expresarse:

.
(2)

No es difícil comprobar que este valor de r satisface la ecuación

(3)

que se conoce como fórmula de Descartes y sirve para las curvaturas de cuatro rectas o circunferencias que sean mutuamente tangentes tres a tres (se considera que una recta tiene curvatura cero).

Aplicación al empaquetado de círculos

La figura siguiente muestra un empaquetado de círculos. Partimos de un círculo. Dentro de el, describimos dos circulos iguales (marcados con el número 2) abarcando un diámetro, luego otros dos (marcados con el número 3) situados entre éstos y el primer círculo. Así sucesivamente, en cada hueco formado por tres círculos vamos colocando uno más en cada paso del proceso.

La fórmula de Descartes, o más concretamente la fórmula (2), nos permitrá ir calculando las curvaturas de los círculos y, a partir de ella, su centro. En la figura, el número que aparece en algunos círculos es precisamente su curvatura. Podemos observar que todas las curvaturas son números enteros, o de otra forma, que todos los radios de los círculos son de la forma r/n siendo r el radio del primer círculo.