Demostrar que todo cuadrilátero puede considerarse como una imagen perspectiva de un cuadrado.

Lo que sigue es una traducción de la sección The Square as an Image of a Quadrilateral del libro 100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution, de Heinrich Dörrie, traducido al inglés por David Antin. De hecho, en la portada del libro es este problema el que aparece.

El cuadrado como imagen de un cuadrilátero

Nociones previas

La proyección perspectiva, perspectividad o proyección central, la proyección más simple y y más importante de todas las proyecciones, puede explicarse como sigue. Consideremos dados un punto fijo Z, el centro de proyección, y un plano fijo E, el plano imagen. La imagen perspectiva, o más brevemente la perspectiva de un punto cualquiera P₀ es el punto P de intersección del "rayo de proyección" ZP₀ con el plano de imagen. P₀ es el "objeto", y P la "imagen". La imagen de una figura es el conjunto de las imágenes de los puntos que forman la figura (el objeto). Así, la perspectiva de una linea recta r₀ es una línea recta r, concretamente la intersección del plano Zr₀ con el plano de la imagen.

Es particularmente importante la proyección perspectiva en la que proyectamos sobre el plano de la imagen los puntos de un plano E₀, el plano objeto. La recta de intersección a del plano objeto y el plano imagen se llama eje de perspectividad. El eje de perspectividad es lugar geométrico de los puntos que coinciden con su imagen. En correspondencia, cualquier recta objeto y su recta imagen se cortarán en el eje.

La recta del infinito del plano objeto juega un papel destacable en esta perspectividad. Como los rayos a los puntos del infinito de E₀ son paralelos a E₀, todos ellos estarán en una plano D que pasa por Z y es paralelo a E₀ y por tanto cortará al plano de la imagen en la intersección f de este plano con D. Esta recta de intersección se llama recta de fuga del plano objeto E₀. La recta de fuga es paralela al eje de perspectividad.

Para que el teorema mencionado anteriormente,"la perspectiva de una recta es también otra recta", como caso especial, llamaremos al conjunto de puntos del infinito de E la "recta del infinito" de este plano y entonces podemos expresar de forma breve que:

La perspectiva de la recta del infinito de un plano es la recta de fuga de este plano.

El punto de intersección de la recta de fuga f con la imagen r de una recta cualquiera r₀ de E₀ se llama punto de fuga de r₀.

Solución del problema

Sea ABCD el cuadrilátero dado en el plano de dibujo E. Sean O el punto de intersección de las diagonales AC y BD, P el punto de intersección de los lados opuestos AB y CD, y Q el punto de intersección de los lados opuestos BC y DA. Llamaremos correspondientemente A₀B₀C₀D₀ al cuadrado que estamos buscando, O₀ a su centro y E₀ a su plano.

Como los puntos P₀ y Q₀ de intersección de los dos pareds de lados opuestos están en la recta del infinito E₀, sus imágenes P y Q deben estar en la línea de fuga de la perspectividad desde E₀ a E. Por ello, tomamos la recta PQ como la recta de fuga f. No importa la paralela a f que elijamos como eje de perspectividad. Nosotros tomaremos la paralela a a f por el punto A.

Figura cuadrilatero1.fig

Llamaremos H, K, M, N y S a las intersecciones de las rectas CD, BC, OP, OQ y BD con el eje perspectividad. Como cada recta objeto corta a su imagen en el eje de perspectividad estos puntos también son H₀, K₀, M₀, N₀ y S₀.

En el cuadrilátero ABCD los lados opuestos PBA y PCD y las diagonales PO y PQ forman un haz armónico. Como el rayo PQ es paralelo a la recta a, los segmentos MA y MH miden lo mismo.

En el cuadrilátero ABCD los lados opuestos QCB y QDA y las diagonales QO y QP también forman un haz harmónico. Como QP y a son paralelos, los segmentos NA y NK también miden lo mismo.

Como las diagonales del cuadrado buscado deben cortar a las diagonales del cuadrilátero dado en el eje, las diagonales del cuadrado deben pasar por A y S. El punto de intersección O₀ de las diagonales deberá estar sobre la semicircunferencia de diámetro AS perteneciente al plano E₀. Como las mediatrices M₀O₀ y N₀O₀ pasan por O₀, O₀ también estará en la semicircunferencia con diámetro MN del plano E₀. El punto de interesección de las dos semicircunferencias es el centro O₀ del cuadrado.

Los lados A₀B₀ y C₀D₀ del cuadrado son las paralelas por A y H a MO₀, y los lados B₀C₀ y D₀A₀ del cuadrado son las paralelas por K y A a NO₀.