Sea dado un ángulo cuyos lados son cortados por una transversal. Trazar un círculo tangente a los lados del ángulo y que ique intercepte a la transversal en un segmento igual al radio del círculo.

Problema propuesto por Luís Lopes

Solución de Fábio Dias Moreira:

Observemos que al deslizar al transversal, manteniéndola paralela a a la original, obtendremos soluciones homotéticas del problema. Por tanto, bastará hallar una solución para una de esas paralelas.

En la figura el ángulo es BAC y la trasversal t es BC. El centro X de la circunferencia buscada estará en la bisectriz del ángulo A.

Sea Y cualquier punto de esta bisectriz, y tracemos por Y una paralela p a la trasversal y dos rectas r y s que forman ángulos de 60º y -60º con ella.

Tracemos la circunferencia centrada en Y y tangente a los lados AB y AC. Esta circunferencia cortará a las rectas r y s en cuatro puntos R;R', S;S' de manera que los triángulos ORS y OR'S' son equiláteros y RS es paralela a la trasversal original.

Bastará entonces hacer una homotecia que lleve RS o R'S' sobre la trasversal original, dando lugar a dos soluciones del problema.

En este applet se puede seguir la construcción:

Aquí se muestran las dos soluciones: