Mediana trisecadora
En el triángulo ABC, la mediana AM divide al ángulo ÐBAC en la razón 1:2, y D está en la prolongación de AM de manera que ÐDBA es un ángulo recto. Demostrar que AD = 2·AC.
Challenging Problems in Geometry
Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind

(24/11/2006) Solución geométrica de Julio Miranda (Perú)

  1. Prolongamos CA hasta el punto P de modo tal que CA = AP. Unimos PB.
  2. En el triángulo CPB, al ser A el punto medio de CP y M el punto medio de CB es PB paralela AM, por lo que ÐABP = a y ÐAPB = 2a.

  3. En el triángulo rectángulo ABD trazamos la mediana relativa a la hipotenusa, teniendo AQ = QD = QB = AD/2 y por tanto ÐQAB = ÐQBA = a.

  4. Prolongamos la mediana BQ de modo que corte a CA en el punto T.
  5. Observamos que ÐAPB = ÐQBP = 2a, por lo que el cuadrilátero APQB es un trapecio isósceles, resultando que AP = QB.
  6. Entonces AC = AP = BQ = AQ = AD /2, es decir AD = 2 AC.

Con geometría analítica y trigonometría

Tomemos A como origen de coordenadas y AD como semieje positivo de x. Entonces, siendo b=CA y c = AB, las coordenadas de C y B son

C= (b cos(2a) b sen(2a))
B= (c cos(-a), c sen(-a)) = (c cos (a), -c sen(a))

Como el punto medio M cae en el eje X, al hacer M=(B+C)/2 debe dar y=0, por lo que b sen(2a) = c sen(a) y como sen(2a) = 2 sen(a) cos(a), resulta que c = 2b cos(a).

La recta BD es la perpendicular a AB por B, que escrita en su forma normal (usando el vector perpendicular AB), es

cos(a) ( x - c cos(a)) - sen(a) (y + c sen(a)) = 0, es decir, x cos(a) - y sen(a) - c = 0.

El punto D se obtiene haciendo y=0 en esta recta, es decir, x = c / cos(a) = 2 b,

y así hemos demostrado que AD = 2b = 2 AC.

Con trigonometría solamente

Considerando los ángulos y segmentos de la figura, tenemos:

Entonces AD = 2 b = 2 AC.

Applet de CabriJava

En el siguiente applet hemos fijado el segmento BC y obtenemos los posibles triángulos ABC cumpliendo el enunciado, variando el ángulo a=ÐMAB entre 0 y 60º.

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