En el triángulo ABC se cumple que ÐB=7x y ÐC=2x. Si D es el punto medio del lado BC, ¿cuál es el máximo valor del ángulo ÐCAD?

Solución trigonométrica (de Jose María Pedret)

Sea m la longitud de la mediana AD.

Expresemos el ángulo q = ÐCAD en función de x.

Aplicando el teorema de los senos a los triángulos ABD y ADC,

Dividiendo miembro a miembro las dos igualdades,

Despejando,

y entonces

El ángulo q será máximo cuando lo sea tan q, por lo que hallaremos donde se anula la derivada del segundo miembro. Para ello recurrimos a Mathematica:

Usamos FindRoot para hallar una de las soluciones de la ecuación, la que nos interesa.

El valor correspondiente de q es, en radianes:

Si lo convertimos en grados vemos que corresponde a un ángulo muy poco mayor que 20º. En efecto, si calculamos los segundos sexagesimales en que qmax excede a 20º obtenemos:

Jose María Pedret también aporta una sencilla y elegante construcción con Cabri de los triángulos que cumplen el enunciado. Podemos mover los puntos D, B y N.

Con esta otra construcción con Cabri, de Ricardo Barroso Campos, también conseguimos los triángulos que cumplen el enunciado. En el applet podemos mover los puntos D y B, así como una recta que pasa por C.