Problema 18294 |
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20000
Problems under the Sea
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Un cuadrado de lado 7 contiene 51 puntos. Demostrar que al menos tres de estos puntos están dentro de un círculo de radio 1.
El enunciado original del problema es
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Problema aparecido en la revista Summation, de la Publisher Association of Teachers of Mathematics of New York City.
Teniendo en cuenta
que 51 = 25·2+1, será suficiente recubrir el cuadrado de lado
7 con 25 círculos de radio 1. Entonces, habiendo 51 puntos sobre el cuadrado,
siempre habrá algún círculo que contenga tres o más
puntos.
La clave está trazar de no desperdiciar demasiada área al cubrir el cuadrado con los círculos.
Trazando el primer círculo como se muestra resaltado en la figura, resulta claro que dicho círculo abarca una longitud Ö2 sobre cada lado. Como 5Ö2 es un poco mayor que 7, el cuadrado quedará cubierto con 25 círculos y el problema queda resuelto.