Las proposiciones de geometría se presentan bajo dos formas distintas. Unas expresan que una figura, que ha sido trazada de cierta manera, satisface a ciertas condiciones. Otras piden que se trace (que se construya) una figura de modo que satisfaga ciertas condiciones dadas. En el primer caso, tenemos un teorema; en el segundo, un problema.

Como la solución de los problemas debe traducirse gráficamente en un dibujo, hay que recurrir al empleo de algunos instrumentos. Habitualmente, nos servimos sólo de la regla, con la ayuda de la cual podemos trazar una recta que pasa por dos puntos dados, y del compás, que permite describir alrededor de un centro dado un círculo de radio dado. Una solución cualquiera constará pues para nosotros de estas dos operaciones (una o muchas veces repetidas).

Esta restricción tiene como consecuencia que muchos problemas, simples en apariencia, no podrán ser resueltos (trisección del ángulo, la cuadratura del círculo, etc.). En general, podemos demostrar que será así cuando el cálculo conduzca a ecuaciones que no puedan reducirse al primero o al segundo grados.

Un problema está sobredeterminado, cuando la figura buscada está sometida a más condiciones que las necesarias para determinarlo; es determinado, cuando contiene sólo un número finito de de soluciones; por fin es indeterminado, cuando admite un número infinito de soluciones.

Para resolver un problema determinado, es necesario:

• Efectuar la construcción
• Demostrar que es exacta
• Discutir la solución, es decir indicar los límites entre los cuales deben estar comprendidos los datos para que el problema admita 0, 1, 2, ... soluciones.

Entre los problemas indeterminados, los que se volverían determinados por la añadidura de una sola condición más, presentan un interés muy particular. Aunque un problema igual tuviera una infinidad de soluciones, no será satisfecho por una figura arbitraria; sino que todas sus soluciones se agruparán con una cierta manera, determinada por las condiciones dadas. Así un punto es determinado cuando debe satisfacer a dos condiciones dadas; si se le impone sólo a una única, se vuelve indeterminado; pero todos los puntos que satisfacen esta última condición se encontrarán sobre una línea recta o curva; le damos el nombre de lugar geométrico de los puntos que satisfacen a esta condición. Lo mismo ocurre con una figura para cuya determinación falta una condición; porque en general cada punto de la figura se encontrará en el mismo caso, de manera que cada uno de ellos la tendrá por su lugar geométrico.

La Geometría Analítica proporciona un método completamente general para la resolución de los problemas de geometría. Pero por esto mismo que se aplica uno y el mismo método a los problemas más diferentes, es natural que se haya que hacer grandes rodeos. Así, en la Geometría Analítica, consideramos las distancias de los puntos de una pareja de ejes que, en general, en absoluto nada tienen que ver en la cuestión. Además, aplicando este método, llegamos fácilmente a hacer mecánicamente los cálculos, sin que podamos siempre interpretar geométricamente las ecuaciones que obtenemos. Por fin, y es posiblemente la razón más seria, estas últimas llegan fácilmente a un grado de complicación tal, que no es posible resolverlas en la práctica.

Debido a estas dificultades que se encuentra en la aplicación directa de la GEOMETRÍA DE DESCARTES, recurriremos a una gran cantidad de métodos particulares (basados en el empleo de diferentes sistemas de coordenadas, etc.) que permiten resolver individualmente los problemas de manera más natural y más elegante; pero la dificultad se trasladó ahora sobre la elección del método. Creamos no obstante así una transición entre los procedimientos algebraicos y los puramente geométricos. En estos últimos, tratamos de encontrar la solución del problema, estudiando por la vía geométrica cuales son los enlaces que existen entre los elementos dados la figura y aquellos a los que se busca. Para facilitar estas investigaciones, comenzamos en todos los casos por dibujar una figura que representa la solución buscada y tratamos de estudiarla con la ayuda de los teoremas conocidos de la Geometría.

¿No es cierto, en el caso en un gran número de los problemas más simples, que todo se reduce a la determinación de un punto desconocido? El método que se debe aplicar emana inmediatamente de lo que precede.

Consideramos, de forma aislada, las diferentes condiciones debe satisfacer el punto buscado; a cada una de ellas corresponderá un lugar geométrico; y si son rectas o círculos, el problema está resuelto. Porque el punto deberá encontrarse a la vez sobre cada uno de ambos lugares, debe encontrarse en los puntos donde se cortan.

Si los lugares geométricos son dos rectas, el problema admite sólo una solución y puede volverse imposible sólo si las líneas son paralelas. Si son dos circunferencias o una circunferencia y una recta, el problema admite dos soluciones cuando se cortan, uno cuando son tangentes; se vuelve imposible cuando son exteriores una a otra. Hay una diferencia cualitativa entre este caso y el precedente, donde la imposibilidad estaba sólo una cuestión de límite.

Cuando los lugares geométricos son otras curvas, directamente no podemos más emplearlos para las construcciones y hay que repetir la cuestión de otra manera. Hay que no obstante observar que un punto que es dado por la intersección de una recta y de una cónica posiblemente determinado por medio de una recta y por medio de una circunferencia, mientras que la construcción no puede más efectuarse si el punto está determinado por la intersección de dos cónicas independientes una de la otra.

El método que se acaba de indicar para los problemas más simples, puede extenderse a los más complicados. La regla sería la siguiente:

Consideraremos inexistente una de las condiciones impuestas a la figura, y buscaremos los lugares geométricos de los puntos de la figura hecha así indeterminada.

Se comprende fácilmente que es de la mayor importancia el conocer muchos lugares geométricos, como serán rectas o círcunferencias. En el primer capítulo, daremos los más importantes de ellos, con un desarrollo detallado de las principales reglas enunciadas más arriba.

Cuando no se puedan aplicar inmediatamente los lugares geométricos, la regla que hay que seguir será ésta:

De la figura trazada deduciremos otra en la que el enlace entre los elementos dados y aquellos que se buscan se vea más cómodamente.

Trataremos este tema en el segundo capítulo.

En lo que sigue, para abreviar, designaremos un triángulo por ABC y las longitudes de sus lados por a, b, c. La altura y mediana por correspondientes a a serán h_a y m_a. La longitud de la bisectriz por A será w_a. Los números r y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, mientras que r_a, r_b, r_c son los radios de las circunferencias exinscritas (la circunferencia de centro r_a es tangente a a y a las prolongaciones de b y c).

Cuando se hable de un cuadrilátero ABCD, se representarán los vértices en el orden en el que se enuncian.

(a,b) representará el ángulo comprendido entre las líneas a y b.