Aparecen resaltados los números de los problemas con solución

9
[FGM 432, t11(I), p220] Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un triángulo se forman cuatro triángulos iguales entre sí.
10
[FGM 433, t12, p220] Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo y la mediana del tercer lado se cortan mutuamente en partes iguales.
11
[FGM 435, t13(I), p221] Demostrar que la recta ALN que une el vértice A de un triángulo ADB al punto medio L de una de las medianas que parten de los otros vértices, divide al lado opuesto BD en dos partes una el doble que la otra.
12
[FGM 436, t14, p221] Por los extremos A y C de un segmento y por su punto medio B se trazan tres paralelas a una dirección cualquiera que quedan limitadas por otra recta DEF. Demostrar que BE es igual a la semisuma algebraica de las otras dos paralelas.
16
Demostrar que si dos ángulos tienen sus lados paralelos sus bisectrices son paralelas o perpendiculares.
17
[FGM 437, t15, p222] Demostrar que en todo triángulo una mediana equidista de los vértices por los que no pasa.
18
[FGM 438, t15(I), p222] Demostrar que en un triángulo un vértice y el punto medio del lado opuesto equidistan de la recta que une los puntos medios de los otros dos lados y estos dos puntos medios equidistan de la mediana correspondiente al otro lado.
20
[FGM 447, t21, p225] Demostrar que el punto de corte de dos medianas de un triángulo está situado sobre cualquiera de ellas al doble de distancia del vértice correspondiente que de la intersección con el lado opuesto.
21
[FGM 453, t23(I), p228] Demostrar que suma de las tres alturas de un triángulo es menor que la suma de los tres lados.
22
[FGM 455, t24, p228] Demostrar que una mediana de un triángulo cualquiera es menor que la semisuma de los lados adyacentes.
24
[FGM 460a, t. 25(IV), p. 228] Hacer ver que la suma de las tres líneas l, m, n que unen un punto interior de un triángulo a los vértices es menor que la suma de los dos lados mayores del triángulo.
25
[FGM 461, t26, p229] Demostrar que la suma de las distancias de los vértices de un triángulo ABC a una recta cualquiera MN, es igual a la suma de las distancias, a esa misma recta, de los puntos medios de los tres lados.
26
[FGM 465, t29, p231] Demostrar que la diferencia de los ángulos que una bisectriz interior forma con el lado opuesto de un triángulo es igual a la diferencia de los ángulos adyacentes a ese lado.
27
Demostrar que en un cuadrilátero convexo la suma de dos ángulos exteriores es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
28
Se considera un triángulo no equilátero. Probar que: 1º.- Uno de los ángulos por lo menos es menor que 2/3 de recto; 2º.- Uno de los ángulos al menos es mayor que el límite citado.
29
Dado un triángulo ABC un punto O en su interior, probar que se tiene: ángulo BOC mayor que ángulo BAC.
30
Se da un triángulo isósceles ABC (AB = AC) Se prolonga BA más allá de A en la cantidad AD = BA y se traza DC. Demostrar que el ángulo DCB es recto.
31
Dado un triángulo ABC se prolongan los lados AB y AC en longitudes iguales BD = CE. Demostrar que DE es mayor que BC.
32
[FGM 466, t30, p231] En un triángulo ABC sea I el punto de concurso de las bisectrices de los ángulos B y C. Demostrar que el ángulo BIC = 90º + A/2.
33
Dado un triángulo ABC se prolonga CB en BB' = AB y BC en CC' = AC. Calcular los ángulos del triángulo AB'C'.
34
Demostrar que en un triángulo, el ángulo formado por la bisectriz y la altura que parten del mismo vértice A es igual a la semidiferencia de los ángulos B y C.
35
En un triángulo ABC se supone que B - C = 90º. Demostrar que la bisectriz AD del ángulo A está inclinada 45º sobre CB.
36
Demostrar que si en un triángulo rectángulo uno de los ángulos vale 30 grados, el cateto opuesto es igual a la mitad de la hipotenusa.
37
En un triángulo ABC el ángulo C es inferior a 45º; el ángulo B es agudo pero mayor que 45º. Demostrar que si es AD la altura que parte de A, se tiene; BD menor que AD y esta menor que CD
38
Por un punto A exterior a una circunferencia de centro O se traza una secante ACD cuya parte exterior AC es igual al radio y se traza el diámetro AOB. Demostrar que el ángulo DOB es el triple del COA.
39
Averiguar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un punto dado A y que tienen un radio dado.
40
Lugar geométrico del vértice de un triángulo en que el lado AB es fijo y la mediana AA' que parte de A tiene una longitud dada.
41
Se unen todos los puntos de una circunferencia dada con un punto fijo P. Se pide el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos así obtenidos.
42
Se da una circunferencia y una recta XY. Se pide construir una secante perpendicular a la recta de modo que uno de sus puntos de intersección con la circunferencia sea el punto medio del segmento limitado por el segundo punto de intersección y la recta XY.
43
Hallar el lugar geométrico del punto medio de un segmento AB cuando A y B se deslizan sobre dos rectas perpendiculares.
46
Demostrar que si por los extremos de un diámetro de una circunferencia se trazan cuerdas paralelas, estas son iguales y la recta que une sus otros extremos es también un diámetro.
50
Se tiene un triángulo ABC. Se pide trazar por A una recta de modo que tenga una longitud dada el segmento B'C' comprendido entre los pies de las perpendiculares BB' y CC' trazadas a ella desde B y C.
52
Dada una circunferencia, un punto P y una recta XY, se traza una secante PAB que pasa por P y después las cuerdas AA' y BB' paralelas a XY. Demostrar que cuando la secante PAB gira alrededor de P, la recta A'B' gira alrededor de otro punto fijo P'.
53
Sean C el punto medio de un arco AB y el D un punto cualquiera del mismo arco. Demostrar que AC + BC ³ AD + BD.
54
Sobre los lados de un triángulo cualquiera se construyen triángulos equiláteros exteriores. Demostrar que las rectas que unen los vértices exteriores de esos triángulos con los opuestos del primero son iguales y concurrentes.
55
Por un punto dado trazar una secante a un ángulo dado de modo que los lados de éste y la secante formen un triángulo de perímetro conocido.
56
Dado un triángulo isósceles hallar el lugar geométrico de los puntos de encuentro de las tangentes trazadas por los vértices de la base a todas las circunferencias que tienen por centro el otro vértice.
58
Construir un paralelogramo conocidos los lados y el ángulo de las diagonales.
59
Construir un triángulo conociendo: A; r y a+b+c.
61
Se da un arco de circunferencia y su cuerda. Averiguar el lugar geométrico del punto de encuentro de las tangentes trazadas por los extremos de dicha cuerda a las circunferencias que tengan por centro los puntos del arco y sean tangentes a la cuerda.
62
Se dan dos circunferencias y una recta. Trazar una tangente a cada una de aquellas de modo que la recta dada sea bisectriz del ángulo que forman dichas tangentes.
64
Construir un triángulo equilátero de lado conocido de modo que sus vértices se hallen en dos paralelas y una secante dadas.
65
Por los puntos A y B se trazan dos rectas paralelas entre sí de dirección cualquiera. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la recta AB y a las paralelas cuando se da a estas todas las direcciones posibles.
66
Construir un trapecio conociendo los dos lados no paralelos y el radio del circulo inscrito.
67
Se da una circunferencia y la tangente T en un punto A. Desde un punto M de la curva se traza la perpendicular MB a la recta T y se prolonga la cantidad BM' = MB . Lugar geométrico de M' cuando M recorre la circunferencia.
68
Sobre una circunferencia O se dan dos puntos A y B y un punto C exterior equidistante de A y B. Demostrar que si CA es tangente a O, CB lo es también.
70
Se da un circulo O; un diámetro AB y las tangentes en A y B. Otra tangente encuentra a las primeras en C y D. Demostrar que COD es recto. Recíproca.
76
Se considera un trapecio ABCD inscrito en un circulo de centro O; sus diagonales AC, BD, se cortan en E y las prolongaciones de los lados AD, BC, se cortan en F. Demostrar que : 1º.- Los cuatro puntos O, B, C, E son concíclicos. 2º.- Los cuatro puntos A, O, C, F son también concíclicos.
77
Se da un círculo y un triángulo inscrito. Demostrar que la cuerda trazada perpendicularmente a un lado, en uno de sus extremos, es igual al segmento de la altura que parte del vértice opuesto a ese lado y limitado por el vértice y el ortocentro.
78
Dados un triángulo ABC inscrito en una circunferencia y la tangente a ella en A que corta a la recta BC en D, y supuesto conocidos los ángulos A, B, C calcular los ángulos del triángulo ACD y demostrar que la bisectriz del ángulo A del primer triángulo es perpendicular a la bisectriz del ángulo D del segundo triángulo.
79
Se tienen dos circunferencias concéntricas. Se pide trazar por un punto B dado en la exterior, una cuerda que quede dividida en tres partes iguales.
81
Construir un pentágono conociendo los puntos medios de sus lados.
82
Construir un cuadrilátero conociendo las diagonales y el ángulo que forman, así como dos ángulos consecutivos.
83
Por el punto común C a dos circunferencias se traza la secante ACB: en A y B se forman ángulos dados obteniéndose rectas que se cortan en D. Lugar geométrico del punto D cuando la secante varía. Estudio del máximo y mínimo del triángulo ABD.
84
Un segmento AB tiene 6 cm. de longitud. Hallar sobre AB dos puntos C y D tales que se tenga AB/CD = 3/2 y CD/DB = 5/7.
86
Una regla AB se halla dividida en 72 partes iguales (A y B llevan los números 0 y 72); siendo C el punto medio de AB evaluar la relación MA/MC cuando M ocupa sucesivamente las divisiones 27 y 30 e indicar las divisiones ocupadas por el conjugado armónico M' de M respecto a los puntos A y C.
89
Demostrar que en un triángulo ABC una paralela a la mediana AA' determina sobre los lados AB y AC segmentos AD y AE proporcionales a esos lados.
90
Dado un triángulo ABC, un punto D sobre AB y el punto E sobre AC de modo que sea DA/DB = EC/EA. Demostrar que los puntos medios de los lados AB, AC y el punto medio de DE están en línea recta.
91
Por el vértice A de un paralelogramo ABCD se traza una secante que encuentra la diagonal BD en E y a los lados CD, CB en F y G. Demostrar que EA^2 = EG x EF.
92
Se considera sobre una recta XY una cuaterna A, B, C, D de puntos consecutivos. Por A y B se trazan dos paralelas; por C y D otras dos paralelas. Demostrar que las diagonales de todos los paralelogramos formados de ese modo, cortan a XY en puntos fijos.
94
Cuatro semirrectas OA, OB, OC, OD forman ángulos consecutivos de 45º, se las corta por una recta ABCD que forma un triángulo isósceles OAD. Demostrar que AB^2 = AD x BC.
95
AB es el diámetro de una circunferencia, CD es una cuerda perpendicular a AB. Siendo E un punto cualquiera de CD, AE y BE cortan a la circunferencia en F y G. Demostrar que el cuadrilátero CFDG tiene dos lados consecutivos en la misma relación que los otros dos.
96
Se considera una recta XY y fuera de esta recta dos puntos A y B. Un segmento MN de longitud dada l, se desliza sobre XY. Hallar la posición de ese segmento para que sea AM/BN = p/q.
97
Dadas dos rectas paralelas XY y un punto P, construir una perpendicular común a AB a esas rectas tal que PA/PB = m/n, siendo m y n dos longitudes dadas.
98
Se da un ángulo recto XOY y dos puntos A y B (OB>OA) sobre OX. Hallar sobre OY un punto M tal que MA sea bisectriz del ángulo OMB.
99
Construir un triángulo conociendo a, ha y b/c = m/n.
101
Construir un triángulo conociendo: a; bisectriz de A y b/c = m/n.
102
Los vértices A y B de un triángulo son fijos y el C describe una circunferencia dada de centro A. Hallar el lugar del pie de la bisectriz del ángulo A.
103
Por un punto dado P, trazar una recta de modo que la relación de sus distancias a dos puntos dados A y B tenga un valor dado m/n.
104
Demostrar que en un trapecio la bisectriz del ángulo formado por los lados no paralelos prolongados, divide a cada una de las bases en segmentos proporcionales a los lados no paralelos que les son adyacentes.
105
Dado un triángulo ABC hallar sobre el lado AB un punto D tal que si DE es paralela a BC se tenga BD/DE = m/n, siendo m y n longitudes dadas.
106
Se da un triángulo equilátero ABC y exteriormente a ese triángulo la semi-circunferencia de diámetro AB; siendo D, E los puntos que dividen esta curva en tres partes iguales, demostrar que CD y CE dividen AB en tres segmentos iguales
107
Dados un circulo y dos radios OA, OB, trazar una cuerda que quede dividida en tres partes iguales por esos radios.
108
1º. Demostrar que los lados no paralelos y las diagonales de un trapecio determinan sobre una paralela a las bases tres segmentos consecutivos en que los dos extremos son iguales. 2º. Construir esta paralela para que estos tres segmentos sean iguales.
109
Dadas dos rectas X, Y y un punto P trazar una secante que encuentre a X en A y a Y en B, paralela a una recta dada Z y tal que PA = PB.
110
Dado un paralelogramo ABCD por C se traza una recta que divide a la diagonal BD en dos partes, una cuádruplo de la otra. Demostrar que esta secante divide al lado AD en dos partes una triple de la otra.
111
Conociendo los cuatro lados de un trapecio, calcular las longitudes de los lados del triángulo formado prolongando los lados no paralelos.
112
Dado un trapecio ABCD de bases AB = a, CD = b, se considera sobre los lados AD y BC los puntos E y F tales que EA/ED = FB/FC = m/n. Calcular EF.
113
Dado un cuadrilátero ABCD, una paralela a la diagonal BD corta a AB en E y a AD en F; una segunda paralela a BD corta a BC en G y a CD en H. Demostrar que las rectas EG y FH se cortan sobre la recta AC.
114
Se prolongan los lados AB, AC de un triángulo ABC, longitudes iguales BD, CE; sea F la intersección de BC y DE; Demostrar que AB/AC = EF/DF.
115
Dado un triángulo ABC, por un punto M del lado BC se traza la paralela a la mediana AD; siendo N y P los puntos en que ella encuentra a las rectas AB y AC. Demostrar que la suma MN + MP permanece constante cuando M varía sobre BC.
116
Demostrar que en todo cuadrilátero la recta que une los puntos medios de las diagonales determina sobre los lados opuestos, segmentos proporcionales.
119
Dado un paralelogramo ABCD, se traza por el vértice C y exteriormente al paralelogramo una recta que corta las prolongaciones de AB y AD en E y F. Demostrar que AB/AE + AD/AF = 1.
120
Dado un ángulo XOY, A describe OX, B describe OY de manera que 1/OA + 1/OB = 1/m siendo m dada. Demostrar que la recta AB corta a la bisectriz del ángulo en un punto fijo.
121
Dadas tres rectas X, Y, Z, concurrentes, y un punto P, trazar por él una secante tal que siendo ABC los puntos de corte con XYZ, el punto C sea el punto medio de AB.
122
Se da un triángulo ABC; trazar una recta tal que sus distancias a los vértices A, B, y C sean proporcionales a los números 1, 3 y 5.
123
Dado un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia demostrar que la intersección de las diagonales y los puntos de contacto de los lados no paralelos, están situados sobre una misma recta paralela a las bases.
124
Se da un semicírculo de diámetro AB; sus tangentes en A y B son cortadas por una tangente de punto de contacto arbitrario M en A' y B'; AB' y BA' se cortan en N; se traza MN que corta a AB en P. Demostrar que MP es perpendicular a AB y que ese segmento tiene a N por punto medio.
125
Hallar el lugar del punto de intersección de las diagonales de un trapecio en el que se da uno de los lados no paralelos en posición, y cuyas bases tienen longitudes dadas.
126
Construir un triángulo ABC conociendo b, c y la longitud de la bisectriz wa.
127
Construir un triángulo isósceles ABC (AB =AC) conociendo el ángulo en el vértice A y la suma de la base y de la altura correspondiente.
128
Construir un triángulo isósceles conociendo la circunferencia circunscrita y la suma de la base y de la altura.
130
Se dan dos circunferencias de centros O y O' y un punto P. Trazar dos radios OA y O'A' paralelos y del mismo sentido y tales que PA = PA'.
132
Dado un ángulo recto XOY sobre OX se lleva OA = a y sobre OY, OB = 2a. Sean M un punto cualquiera, MP y MQ sus distancias a OX y OY. Demostrar que el segmento AB es el lugar de los puntos M interiores al ángulo y tales que MP + 2MQ = 2a.
133
Dado un triángulo ABC construir un triángulo que le sea semejante y cuyo perímetro tenga una longitud dada 2p.
134
Siendo AA', BB', CC' las alturas de un triángulo ABC demostrar: 1.- AB/AC = AB'/AC'. 2.- AB' x BC' x CA' = AC' x BA' x CB'.
135
Dado un triángulo ABC se trazan BB' y CC' perpendiculares a la bisectriz AD del ángulo A. Demostrar que A y D son conjugados armónicos respecto a B'C'.
136
Por el vértice A de un paralelogramo ABCD se traza una secante de dirección variable que encuentra a las rectas BC y CD en E y F. Demostrar que el producto de BE x DF permanece constante.
137
Dado un rectángulo ABCD en el cual la base AB es doble de la altura BC, se traza desde el vértice A la perpendicular a la diagonal BD; siendo E el punto en que esta recta corta a CD. Demostrar que DE es la cuarta parte de DC.
138
Se da un rectángulo ABCD que tiene por lados AD = a y AB =asqrt(2). Demostrar que las perpendiculares a la diagonal BD trazadas por los vértices A y C dividen a esta diagonal en tres partes iguales.
139
Dado un triángulo ABC y un punto cualquiera M sobre BC, demostrar que las circunferencias que pasan por los puntos A,B,M y A,C,M tienen sus radios proporcionales a los lados AB y AC.
140
Se da un ángulo XOY y un punto P; por los puntos O y P se traza una circunferencia de radio variable, si A y B son los puntos en que corta a OX y OY, demostrar que la relación PA/PB permanece constante.
141
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos desde los que se ven dos círculos bajo el mismo ángulo?
142
Dado un triángulo ABC de lados a, b, c la circunferencia que pasa por B y es tangente a AC en el punto A corta a BC en un segundo punto D. Demostrar que AD es cuarta proporcional a los lados a, b, c.
145
Dado un triángulo ABC rectángulo en A y su altura AD; se lleva sobre AB, AC y DA, AB' = AB/3; AC' = AC/3; DD' = DA/3. Demostrar que el triángulo D'B'C' es semejante al ABC.
146
Dado un triángulo ABC inscrito en un círculo se traza una cuerda B'C' paralela a BC; AC' corta a BC en D, demostrar que ABxAC = AB'xAD.
147
Dadas dos circunferencias secantes, trazar por uno de sus puntos comunes A una secante tal que siendo B y B' los segundos puntos en que corta a las circunferencias se tenga AB/AB' = m/n.
148
Se consideran tres rectas paralelas consecutivas XYZ y una secante que encuentra a X en A y a Y en B, siendo M un punto de Z, AM corta a Y en B' y BM corta a X en A'. Demostrar que cuando M describe Z la recta A'B' pasa por un punto fijo.
149
Dado un triángulo ABC en el cual la altura AD es igual al lado correspondiente BC, Demostrar que todos los rectángulos inscritos en ese triángulo y que tienen dos vértices sobre BC, tienen el mismo perímetro.
150
Se consideran todos los rectángulos inscritos en un triángulo dado ABC y con un lado sobre BC. Averiguar el lugar del punto de concurso de sus diagonales.
151
Dado un triángulo ABC, cortar los dos lados AB, AC por una paralela DE a BC tal que siendo DD', EE' las perpendiculares a BC, la figura DD'E'E sea un cuadrado.
153
Cuando dos circunferencias son tangentes exteriores, la distancia de su punto de contacto a una tangente común es cuarta proporcional a la semisuma de sus radios y a cada uno de estos radios.
154
Demostrar que dos triángulos que tienen sus tres alturas proporcionales, son semejantes.
155
Dado un triángulo rectángulo y un cuadrado inscrito con un lado sobre la hipotenusa, el lado de ese cuadrado es media geométrica entre los dos segmentos restantes de la hipotenusa.
157
Se da una circunferencia y una cuerda AB. Demostrar que la distancia de un punto M cualquiera de la curva a la cuerda AB es media geométrica entre las distancias de ese mismo punto a las tangentes en A y B.
158
Dadas dos circunferencias O y O' tangentes en A se traza por este punto una cuerda AB de O y otra AB' de O' perpendicular a la anterior. Demostrar que BB' pasa por un punto fijo cuando el ángulo recto BAB' gire alrededor de A.
159
Desde un punto A se traza una tangente AB a un círculo y una secante ACD. Demostrar que se tiene AC/AD = BC2/BD2.
160
Por un punto A se trazan las tangentes AB, AC, a una circunferencia y una secante arbitraria ADE. Demostrar que BD x CE = BE x CD.
161
Dados un ángulo XOY y un punto P se trazan dos circunferencias que pasan por O y P. La primera corta a OX en A y a OY en B; la segunda corta a OX en A' y a OY en B'. Demostrar que: 1.- Los triángulos PAA' y PBB' son semejantes. 2.- Las citadas circunferencias que pasan por P y O determinan en OX y OY segmentos proporcionales.
162
Demostrar que en un triángulo el producto de las distancias del pie de una altura a los extremos del lado correspondiente es igual al producto de sus distancias a los pies de las otras dos alturas.
163
Se tiene un trapecio inscrito en un paralelogramo. Demostrar que el punto de intersección de las diagonales del trapecio se halle sobre una de las diagonales del paralelogramo.
164
En un triángulo ABC se marcan sobre sus alturas AA', BB', CC' los puntos A'', B'', C'', situados al tercio de cada una de ellas a partir de su pie. Demostrar que 1.- Los tres puntos, el ortocentro y el baricentro son concíclicos. 2.- El triángulo A''B'' C'' es semejante al ABC.
165
Se prolongan en el mismo sentido los cuatro lados de un rectángulo en una longitud igual al lado respectivo. Hallar el área de la figura formada por los extremos de las prolongaciones.
166
[FGM 1549, t518(1º), p736] Demostrar que los triángulos que tienen por vértices el baricentro de un triángulo y por bases sus lados, son equivalentes.
167
[FGM 1549, t518(2º), p736] Demostrar que las medianas de un triángulo dividen su área en 6 triángulos equivalentes.
168
Dado un triángulo ABC, hallar en su interior un punto O tal que los triángulos OAB, OBC y OCA sean equivalentes.
171
Un triángulo se recorre en un sentido determinado y se prolonga cada lado en ese sentido, en una longitud igual a ese lado. Demostrar que el área del triángulo que tiene por vértices las extremidades de las prolongaciones es igual a 7 veces el área del triángulo dado.
173
Dado un triángulo ABC rectángulo en A, AB = 4. AC = 3 se construye sobre AB como base y del mismo lado que C, el triángulo isósceles ABD equivalente a ABC. Evaluar el área de la parte común.
174
Dado un triángulo ABC se divide cada lado en n partes iguales y se unen los puntos de división al punto de concurso de las medianas. Demostrar que el triángulo queda así dividido en 3n partes equivalentes.
175
Sean G el punto de concurso de las medianas de un triángulo y P un punto cualquiera. Demostrar que uno de los tres triángulos PGA, PGB y PGC es equivalente a la suma de los otros dos.
176
Sean un paralelogramo ABCD, O un punto que no está situado en el ángulo A ni en el opuesto por el vértice. Demostrar que el triángulo OAC es equivalente a la suma de los triángulos OAB y OAD.
178
Dadas dos rectas r, r' y dos puntos A y B sobre r trazar dos paralelas AA', BB' que encuentren a r' en A' y B' tales que el trapecio AA'BB' tenga un área dada m2.
182
Dado un trapecio ABCD se traza la recta EF que une los puntos medios de los lados no paralelos; EF corta a la diagonal AC en G. Demostrar que la diferencia de las áreas de los trapecios ABFE y FECD es igual al area del triángulo BDG.
184
Si a y b son los lados de los cuadrados equivalentes a los triángulos que tienen por bases respectivas las bases de un trapecio y por vértices opuestos el punto de concurso de las diagonales, ese trapecio es equivalente al cuadrado de lado a + b.
185
Dividir un paralelogramo en dos partes equivalentes por una paralela a una recta dada.
187
Dados dos triángulos isósceles ABC, A'BC de la misma base BC, Demostrar que si A = 2A', el área de A'BC es mayor que el doble de la del ABC.
188
[FGM 1555, t522(I), p739] Dado un triángulo ABC, su ortocentro H y un semicírculo de diámetro BC que corta a AH en D, demostrar que el área del triángulo BCD es media proporcional entre las de los triángulos BCA y BCH.
189
Por un punto P exterior a una circunferencia O trazar una secante PAB de modo que el triángulo OAB sea de área máxima.
191
[FGM 1606, t552, p763] Demostrar que entre los radios de los circulos inscrito y exinscritos de un triángulo existe la relación: 1/r = 1/ra + 1/rb + 1/rc.
192
Inscribir en un cuadrado de lado a otro cuadrado de área b2.