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83. Por el punto común C a dos circunferencias se traza la secante ACB: en A y B se forman ángulos dados obteniéndose rectas que se cortan en D. Lugar geométrico del punto D cuando la secante varía. Estudio del máximo y mínimo del triángulo ABD.
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Por A y B hemos trazado rectas que forman con AB angulos dados a y b (entre 0 y 180º), y estas rectas se cortan en D. Además, las rectas AD y BD vuelven a cortar a las circunferencias (U) y (V) en E y F, respectivamente. Los puntos E y F son fijos, ya que los ángulos A y B del triángulo ABD hemos dicho que son fijos. Así, por ejemplo, al ser fijo el ángulo CBF, también lo será el arco CF de la circunferencia (V), y por tanto F será fijo. Una vez que hemos establecido que E y F son fijos, consideremos el ángulo bajo el cual se ve este segmento desde el punto D. En la figura adjunta tenemos ÐEDF = 180º - ÐADF = 180º - ÐADB = ÐDAB + ÐDBA = (180º - a) + b =180º-(a-b) |
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ÐEDF = ÐADB = 180º - ( ÐDAB + ÐDBA) = 180º-((180º - a) + b)=a-b Obtenemos entonces que en cualquier caso D está en una misma circunferencia. Los puntos E y F están en el lugar geométrico de D. Razonemos que el otro punto de intersección G de las dos circunferencias también pertenece al lugar geométrico.Observemos para eso que en este caso que cuando la secante que pasa por C sea la recta que pasa también por G, entonces tendremos A = B = G, y por tanto también D=G, por lo que G pertenece al lugar geométrico de D. Por tanto, el lugar geométrico pedido es la circunferencia que pasa por G y los puntos fijos E y F.
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Teniendo en cuenta que todos los triángulos DAB son semejantes, el mayor de ellos se presentará cuando el segmento AB sea máximo, y esto ocurre cuando AB es paralela a la recta UV que une los centros de las dos circunferencias. En efecto, si por U y V trazamos perpendiculares UM y VN a AB tendremos evidentemente que MN es la mitad de AB. Ahora, siguiendo la figura, si trazamos la paralela LV = MN se formará en general el triángulo rectángulo UVL excepto en el caso límite en el que LV sea paralela a UV, es decir cuando LV = MN = (1/2) AB sea máximo. |
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Problemas de Geometría propuestos
a los Alumnos de Primer Año de Preparación de Ingreso en
la Escuela Especial de Ingenieros Aeronáuticos. Año 1946. |
En la figura
hemos trazado dos circunferencias (U) y (V) que se cortan
en C y en otro punto G. Una recta que pasa por C
corta a (U) y (V) en A y B, respectivamente.
En
esta otra figura tenemos:
Ya hemos dicho
que el triángulo DAB se reduce a un punto cuando D=G,
siendo este el triángulo mínimo.