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70. Se da un circulo O; un diámetro AB y las tangentes en A y B. Otra tangente encuentra a las primeras en C y D. Demostrar que COD es recto. Recíproca.
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Recíprocamente, supongamos que C y D están sobre las tangentes a la circunferencia por A y B, respectivamente. Demostremos que la recta CD es tangente a la circunferencia. Para ello, T el pie de la perpendicular por O a CD. Razonemos que OT = r. Sean AC = a, BD = b, AO = OB
= r. Prolongamos AC hasta B' de manera que CB'
= b y prolongamos BD hasta A' de manera que DA'
= a. El punto O' es punto medio de A'B'. La figura OCO'D es un rectángulo y una de sus diagonales es OO' = a+b. La otra, CD, mide lo mismo, a+b. De los triángulos semejantes OAC y DBO tenemos que r/a =b/r, es decir ab=r^2. Aplicando el teorema del cateto al triángulo rectángulo ODC, resulta que DT = OD^2 / DC = (b^2 + r^2)/(a+b) = (b^2 + ab)/(a+b)=b = DB, por lo que los triángulos rectángulos OBD y OTD son idénticos y tendremos OT = OB = r. |
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Problemas de Geometría propuestos
a los Alumnos de Primer Año de Preparación de Ingreso en
la Escuela Especial de Ingenieros Aeronáuticos. Año 1946. |
Para la parte
directa, si la tangente en T corta en C y D a las
tangentes en A y B, es evidente que los triángulos
CAO y CTO son iguales, e igual ocurre con los triángulos
DBO y DTO. Usando esto es fácil hacer una caza de
ángulos para comprobar que COD es recto.