61. Se da un arco de circunferencia y su cuerda. Averiguar el lugar geométrico del punto de encuentro de las tangentes trazadas por los extremos de dicha cuerda a las circunferencias que tengan por centro los puntos del arco y sean tangentes a la cuerda.

Este problema se resuelve fácilmente si conocemos esta propiedad del incentro:

Lema. Sea ABC un triángulo, I su incentro e Ia el excentro correspondiente a A. Se puede demostrar que:

• La bisectriz AI corta a al circunferencia circunscrita a ABC en el punto medio Q del arco BC (el que no contiene a A).
• El punto Q es el centro de una circunferencia que pasa por los puntos B, C, I e Ia.
• El ángulo BIC mide 90º + A/2 y por tanto el ángulo BIaC mide 180º - ÐBIaC, es decir 90º -A/2.

Para demostrar esta propiedad basta hacer un cálculo de ángulos en la figura de la derecha. Para ver una figura con estos ángulos calculados pulsa aquí.

En nuestro problema tenemos:

• Un arco AB de centro O.
• Un punto X variable sobre el arco AB,
• Una circunferencia con centro X y tangente a la recta AB.
• El punto P de intersección de las tangentes desde A y B a la circunferencia de centro X.

Siendo X el incentro del triángulo ACP, si ÐAOB = q tendremos 180º - q/2 = ÐAXB = 90º + ÐAPB/2, de donde ÐAPB=180º - q y P está en el arco AB de la circunferencia OAB que no contiene a O.