59. Construir un triángulo conociendo: A; r y a+b+c.

Supongamos el problema resuelto y observemos la figura, que tiene muchas propiedades interesantes:

La bisectriz interior del ángulo A contiene al incentro I y al excentro Ia. Además el punto medio Q de I y Ia también es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita que no contiene a A, y por último, la circunferencia de centro Q y diámetro IIa pasa por los vértices B y C.

Esto motiva la siguiente construcción:

1. Trazamos dos rectas formando un ángulo A y la bisectriz interior de este ángulo. El punto de intersección de las dos rectas será el vértice A del triángulo buscado. Las dos rectas, que llamamos evidentemente AB y AC contendrán los otros dos vértices
2. Trazamos una paralela a AB a una distancia r (no mostrada en la figura), que determina el incentro I.
3. Marcamos sobre AB un punto E a distancia s = (a+b+c)/2 y trazamos por él una perpendicular a AB que determina sobre la bisectriz el excentro Ia.
4. Hallamos el punto medio Q de I e Ia y trazamos la circunferencia con diámetro IIa.
5. La intersección de la recta AB con esa circunferencia determina el punto B (puede haber dos soluciones). Trazando desde B la tangente a la circunferencia inscrita obtenemos la recta BC y la intersección con AC da el tercer vértic C. El trazado de esta tangente puede evitarse ya que C también será un punto de intersección con la circunferencia de diámetro IIa.

Cuando obtenemos dos soluciones vemos que, por la simetría, los triángulos obtenidos son congruentes.

Para estudiar las condiciones para que el problema tenga solución usamos Mathematica. Consideramos a A el origen y a AB el eje x.

Con la última instrucción buscamos una forma más compacta para expresar los paréntesis. Recordando las fórmulas de la tangente del ángulo mitad y aplicándolas al primero de estos cocientes,

Entonces deducimos que el valor de r necesario para que exista solución, dados A y s, es

La igualdad corresponde al caso en que la circunferencia con diámetro IIa es tangente a las rectas AB y AC.