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54. Sobre los lados de un triángulo cualquiera se construyen triángulos equiláteros exteriores. Demostrar que las rectas que unen los vértices exteriores de esos triángulos con los opuestos del primero son iguales y concurrentes.
Sean X, Y,
Z los puntos que forman con BC, CA, AB triángulos
equiláteros exteriormente al triángulos.
Teniendo en cuenta que ZA = BA, AC = AY y ÐZAC = 60º + ÐA = ÐBAY, el triángulo ZAC es el resultado de girar el triángulo BAY un ángulo de 60º alrededor del ángulo A.
Esto indica que BY = CZ. Además tenemos ÐZFB = ÐYFC = 60º y ÐBFC = 120º. De estos ángulos deducimos que los cuadriláteros FAZB, FBXC y FCYA son cíclico
Es decir, el punto de intersección de dos cualesquiera de las rectas AX, BY, CZ es el punto común de las tres circunferencias circunscritas a BCX, CAY y ABZ, por lo que las tres rectas deben ser concurrentes en ese punto.
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Problemas de Geometría propuestos
a los Alumnos de Primer Año de Preparación de Ingreso en
la Escuela Especial de Ingenieros Aeronáuticos. Año 1946. |