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53. Sean C el punto medio de un arco AB y el D un punto cualquiera del mismo arco. Demostrar que AC + BC ³ AD + BD.
| Solución geométrica (Mariano Nieto Viejobueno) |
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Prolongamos también AD hasta D' de manera que DD' = DB. Teniendo en cuenta que los triángulos DBD' y CBC' son isósceles,
por lo que D está en la circunferencia ABC'. Por ser AD + DB = AD' la longitud de una cuerda de esta circunferencia y AC + CB = AC + CC' = AC' un diámetro de la misma circunferencia queda claro que AD + DB £ AC + CB.
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| Solución trigonométrica |
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Es obvio que esta expresión alcanza su valor máximo para t = 0, es decir cuando D = C. |
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Problemas de Geometría propuestos
a los Alumnos de Primer Año de Preparación de Ingreso en
la Escuela Especial de Ingenieros Aeronáuticos. Año 1946. |
Prolonguemos
AC hasta C' siendo CC' = CB. Por ser CA
= CB = CC' resulta que C es el centro de la circunferencia
ABC', de la cual AC' es un diámetro. 
Usaremos trigonometría.
Para hallar el lado desigual de un triángulo isósceles hacemos
Entonces,
suponemos que el arco AB dado está como en la figura, indicando
entre paréntesis el ángulo que cada punto determina sobre
la circunferencia. Tendremos 